线性模型篇之Logistic Regression数学公式推导

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两分类与多分类

• 两类分类（Binary Classification）
  • 类别标签y只有两种取值，通常设为{0，1}
  • 线性判别函数，即形如 y = w^T*x + b
  • 分割超平面（hyper plane）,由满足f(w,x)=0的点组成
  • 决策边界（Decision boundary）、决策平面（Decision surface）：即分分割超平面，决策边界将特征空间一分为二，划分成两个区域，每个区域对应一个类别。
  • 有向距离（signed distance）
• 多样分类（Multi-class Classification）
  • 分类的类别个数大于2，多分类一般需要多个线性判别函数，但设计这些判别函数有很多方式。eg：
    • 一对其余：属于和不属于
    • 一对一
    • argmax（改进的一对其余）：属于每个类别的概率，找概率最大值
  • 参考：多分类实现方式介绍和在Spark上实现多分类逻辑回归

Logistic回归

LR回归

Logistic回归（Logistic Regression，LR）是一种常见的处理二分类的线性回归模型。

为了解决连续的线性回归函数不适合做分类的问题，引入函数g：R^d -> (0,1)来预测类别标签的后验概率p(y=1 | x)

其中g(.)通常称为激活函数（activation function），其作用是把线性函数的值域从实数区间“挤压”到了（0，1）之间，可以用概率表示。在统计文献中，g(.)的逆函数g(.)^-1也称为联系函数（Link Function）

在逻辑回归中使用Logistic作为激活函数，标签y=1的后验概率为(公式-1)：
$$p(y=1|x)=\sigma (w^{T}x)$$
$$p(y=1|x)=\frac{1}{1+exp(-w^{T}x)}$$

标签 y=0的后验概率为(公式-2)：
$$p(y=0|x)=1-p(y=0|x)$$
$$p(y=0|x)=\frac{exp(-w^{T}x)}{1+exp(-w^{T}x)}$$
将公式-1进行等价变换，可得(公式-3)：
$$w^{T}x=log\frac{p(y=1|x)}{1-p(y=1|x)}$$
$$w^{T}x=log\frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}$$
其中
$$\frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}$$
为样本x正反例后验概率的比例，称为几率（odds），几率的对数称为对数几率（log odds或者logit），公式-3中第一个表达式，左边是线性函数，logistic回归可以看做是预测值为“标签的对数几率”的线性回归模型，因为Logistic回归也称为对数几率回归（Logit Regression）。

附公式-1到公式-3的推导：
$$p(y=1|x)=\frac{1}{1+exp(-w^{T}x)}$$
$$=>exp(-w^{T}x)=\frac{1-p(y=1|x)}{p(y=1|x)}$$
$$=>-w^{T}x=log\frac{1-p(y=1|x)}{p(y=1|x)}$$
$$=>w^{T}x=log(\frac{1-p(y=1|x)}{p(y=1|x)}{)}^{-1}$$
$$=>w^{T}x=log\frac{p(y=1|x)}{1-p(y=1|x)}$$
$$=>w^{T}x=log\frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}$$

参数学习

LR回归采用交叉熵作为损失函数，并使用梯度下降法对参数进行优化。给定N个训练样本{x_i,y_i}，i<=N，使用LR对每个样本进行预测，并用输出x_i的标签为1的后验概率，记为y’i(x) (公式-4)
$$y_i^{\prime }(x)=\sigma (w^T{x}_i),i\in N$$
由于y_i属于{0，1}，样本{x_i,y_i}的真实概率可以表示为(公式-5)：
$$p_r(y_i=1|x_i)=y_i$$
$$p_r(y_i=0|x_i)=1-y_i$$
使用交叉熵损失函数，其风险函数为(公式-6)：
$$R(w)=-\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N(p_r(y_i=1|x_i)log(y_i^{\prime })+p_r(y_i=0|x_i)log(1-y_i^{\prime }))$$
$$=-\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N(y_{i}log(y_i^{\prime })+(1-y_i^{\prime })log(1-y_i^{\prime }))$$
风险函数R(w)关于参数w的导数为(公式-7)：
$$\frac{\partial R(w)}{\partial w}=-\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N(y_i\frac{y_i^{\prime }(1-y_i^{\prime })}{y_i^{\prime }}{x}_i-(1-y_i)\frac{y_i^{\prime }(1-y_i^{\prime })}{1-y_i^{\prime }}{x}_i)$$
$$=-\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N(y_i(1-y_i^{\prime })x_i-(1-y_i)y_i^{\prime }{x}_i)$$
$$=-\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{x}_i(y_i-y_i^{\prime })$$
采用梯度下降算法，Logistic的回归训练过程为：初始化w_0 为0，然后通过下式来更新迭代参数(公式-8)。
$$w_{t+1}\leftarrow w_t+\alpha \frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{x}_i(y_i-y_{w_t}^{\prime })$$
其中a是学习率，y{wt}'是当参数为w_t 时，Logistic回归的输出。

从公式-6可知，风险函数R(w)是关于参数w的连续可导的凸函数，因此除了梯度下降算法外，Logistic还可以使用高阶的优化算法，比如牛顿法来进行优化。

说明:

• 两个未知数相乘求导：
  $$(ab{)}^{\prime }=a^{\prime }b+a{b}^{\prime }$$
• sigmoid函数求导后为：
  $${\sigma }^{\prime }=\sigma (1-\sigma )x$$

LR为什么使用交叉熵作为损失函数而不是MSE，参考：https://blog.csdn.net/weixin_37567451/article/details/80895309

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参考

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/44591359
• https://blog.csdn.net/wgdzz/article/details/48816307

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