递归算法学习系列之八皇后问题
1.引子
中国有一句古话，叫做“不撞南墙不回头"，生动的说明了一个人的固执，有点贬义，但是在软件编程中，这种思路确是一种解决问题最简单的算法，它通过一种类似于蛮干的思路，一步一步地往前走，每走一步都更靠近目标结果一些，直到遇到障碍物，我们才考虑往回走。然后再继续尝试向前。通过这样的波浪式前进方法，最终达到目的地。当然整个过程需要很多往返，这样的前进方式，效率比较低下。
2.适用范围
适用于那些不存在简明的数学模型以阐明问题的本质，或者存在数学模型，但是难于实现的问题。
3.应用场景
在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。国际象棋的棋盘如下图所示：
4.分析
基本思路如上面分析一致，我们采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉
1）x=row(在纵向不能有两个皇后)
2) y=col（横向）
3）col + row = y+x;（斜向正方向）
4) col - row = y-x;（斜向反方向）
遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。
我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,80) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:
第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们再第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止
总结一下，用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：
1）从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列
2）如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯
3）如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。
8个皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一个长度为8的整数数组queenList代表成功摆放的8个皇后，数组索引代表棋盘的col向量，而数组的值为棋盘的row向
量，所以(row,col)的皇后可以表示为(queenList[col],col),如上图中的几个皇后可表示为：
queenList[0] = 0; queenList[1] = 3; queenList[2] = 1; queenList[3] = 4; queenList = 2;
我们看一下如何设计程序:
首先判断(row,col)是否是安全位置的算法：
bool IsSafe(int col,int row,int[] queenList)
{
//只检查前面的列
for (int tempCol = 0; tempCol < col; tempCol++)
{
int tempRow = queenList[tempCol];
if (tempRow == row)
{
//同一行
return false;
}
if (tempCol == col)
{
//同一列
return false;
}
if (tempRow - tempCol == row - col || tempRow + tempCol == row + col)
{
return false;
}
}
return true;
}设定一个函数，用于查找col列后的皇后摆放方法：
//在第col列寻找安全的row值public bool PlaceQueue(int[] queenList, int col)
{
int row = 0;
bool foundSafePos = false;
if (col == 8) //结束标志
{
//当处理完第8列的完成
foundSafePos = true;
}
else
{
while (row < 8 && !foundSafePos)
{
if (IsSafe(col, row, queenList))
{
//找到安全位置
queenList[col] = row;
//找下一列的安全位置
foundSafePos = PlaceQueue(queenList, col + 1);
if (!foundSafePos)
{
row++;
}
}
else
{
row++;
}
}
}
return foundSafePos;
}调用方法：
static void Main(string[] args)
{
EightQueen eq = new EightQueen();
int[] queenList = new int[8];
for (int j = 0; j < 8; j++)
{
Console.WriteLine("-----------------"+j+"---------------------");
queenList[0] = j;
bool res = eq.PlaceQueue(queenList, 1);
if (res)
{
Console.Write(" ");
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
Console.Write(" " + i.ToString() + " ");
}
Console.WriteLine("");
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
Console.Write(" "+i.ToString()+" ");
for (int a = 0; a < 8; a++)
{
if (i == queenList[a])
{
Console.Write(" q ");
}
else
{
Console.Write(" * ");
}
}
Console.WriteLine("");
}
Console.WriteLine("---------------------------------------");
}
else
{
Console.WriteLine("不能完成棋局，棋局失败！");
}
}
Console.Read();
}递归算法PlaceQueue,完成这样的功能：它寻找第col列后的皇后的安全摆放位置，如果该函数返回了false,表示当前进入了死胡同，需要进行回溯，直到为0-7列都找
到了安全位置或者找遍这些列都找不到安全位置的时候终止。
用递归算法解决8皇后问题的示例程序：
/Files/jillzhang/EightQueens.rar
欢迎大家下载；
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附一：另外一些优秀代码
ps：上面的这个C#代码可能没有考虑到八皇后问题的所有情况！
另外还有一些其他作者的相关代码，提供给大家学习之用：
附方法一：
//8 Queen 递归算法
//如果有一个Q 为 chess[i]=j;
//则不安全的地方是 k行 j位置,j+k-i位置,j-k+i位置
class Queen8{
static final int QueenMax = 8;
static int oktimes = 0;
static int chess[] = new int[QueenMax];//每一个Queen的放置位置
public static void main(String[] args) {
long time = System.currentTimeMillis();
for (int i=0;i= 0) && (chess[i]+k < QueenMax) ) qsave[chess[i]+k]=false;
if ( (chess[i]-k >= 0) && (chess[i]-k < QueenMax) ) qsave[chess[i]-k]=false;
i++;
}
//下面历遍安全位
for(i=0;i 附方法二：
public class Queen_Java {
int QUEEN_COUNT = 8; //是多少皇后
static final int EMPTY = 0;
int[][] count = new int[QUEEN_COUNT][QUEEN_COUNT];
int[] QueenIndex = new int[QUEEN_COUNT];
int resultCount = 0;
long time = System.currentTimeMillis();
public void putQueenIndex(int row) {
for (int col = 0; col < QUEEN_COUNT; col++) {
if (count[row][col] == EMPTY) {
for (int iRow = row+ 1; iRow < QUEEN_COUNT; iRow++) {
count[iRow][col]++;
if ((col - iRow + row) >= 0) {
count[iRow][col - iRow + row]++;
}
if ((col + iRow - row) < QUEEN_COUNT) {
count[iRow][col + iRow - row]++;
}
}
QueenIndex[row] = col;
if (row == QUEEN_COUNT - 1) {
print(++resultCount);
} else {
putQueenIndex(row + 1);
}
for (int iRow = row+ 1; iRow < QUEEN_COUNT; iRow++) {
count[iRow][col]--;
if ((col - iRow + row) >= 0) {
count[iRow][col - iRow + row]--;
}
if ((col + iRow - row) < QUEEN_COUNT) {
count[iRow][col + iRow - row]--;
}
}
}
}
if (row == 0) {
System.out.println(QUEEN_COUNT + "皇后共有 " + resultCount + " 个解\n"
+ (System.currentTimeMillis() - time) + "毫秒");
}
}
public void print(int n) {
System.out.println(QUEEN_COUNT + "皇后的第 " + n + " 个解：");
for (int i = 0; i < QUEEN_COUNT; i++) {
for (int j = 0; j < QUEEN_COUNT; j++) {
System.out.print(QueenIndex[i] == j ? " * " : " - ");
}
System.out.println();
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
new Queen_Java().putQueenIndex(0);
}
}
public class Queen_Java_NoOut {
static final int QUEEN_COUNT = 16; //是多少皇后
static final int EMPTY = 0;
int[][] count = new int[QUEEN_COUNT][QUEEN_COUNT];
int[] QueenIndex = new int[QUEEN_COUNT];
int resultCount = 0;
public void putQueenIndex(int row) {
for (int col = 0; col < QUEEN_COUNT; col++) {
if (count[row][col] == EMPTY) {
for (int iRow = row+ 1; iRow < QUEEN_COUNT; iRow++) {
count[iRow][col]++;
if ((col - iRow + row) >= 0) {
count[iRow][col - iRow + row]++;
}
if ((col + iRow - row) < QUEEN_COUNT) {
count[iRow][col + iRow - row]++;
}
}
QueenIndex[row] = col;
if (row == QUEEN_COUNT - 1) {
++resultCount;
} else {
putQueenIndex(row + 1);
}
for (int iRow = row+ 1; iRow < QUEEN_COUNT; iRow++) {
count[iRow][col]--;
if ((col - iRow + row) >= 0) {
count[iRow][col - iRow + row]--;
}
if ((col + iRow - row) < QUEEN_COUNT) {
count[iRow][col + iRow - row]--;
}
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Queen_Java_NoOut obj = new Queen_Java_NoOut();
long time = System.currentTimeMillis();
obj.putQueenIndex(0);
long useTime = System.currentTimeMillis() - time;
System.out.println(QUEEN_COUNT + "皇后共有 " + obj.resultCount + " 个解\n" + useTime + "毫秒");
}
}附方法四：
import java.util.Calendar;
public class Queen_Fastest {
public static int sum = 0, upperlimit = 1;
public static void compute(int row, int ld, int rd) {
if (row != upperlimit) {
int pos = upperlimit & ~(row | ld | rd);
while (pos != 0)
{
int p = pos & -pos;
pos -= p;
compute(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);
}
} else
sum++;
}
public static void main(String[] args) {
Calendar start;
int n = 8;
if (args.length > 0)
n = Integer.parseInt(args[0]);
start = Calendar.getInstance();
if ((n < 1) || (n > 32)) {
System.out.println(" 只能计算1-32之间\n");
return;
}
System.out.println(n + " 皇后\n");
upperlimit = (upperlimit << n) - 1;
compute(0, 0, 0);
System.out.println("共有" + sum + "种排列, 计算时间"
+ (Calendar.getInstance().getTimeInMillis() - start.getTimeInMillis()) / 1000 + "秒 \n");
}
}附二：八皇后的全部92种情况
八皇后一共有92种情况，如下： 这是第1个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ++--------------
第2行: --------++------
第3行: --------------++
第4行: ----------++----
第5行: ----++----------
第6行: ------------++--
第7行: --++------------
第8行: ------++--------
这是第2个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ++--------------
第2行: ----------++----
第3行: --------------++
第4行: ----++----------
第5行: ------------++--
第6行: ------++--------
第7行: --++------------
第8行: --------++------
这是第3个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ++--------------
第2行: ------------++--
第3行: ------++--------
第4行: ----------++----
第5行: --------------++
第6行: --++------------
第7行: --------++------
第8行: ----++----------
这是第4个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ++--------------
第2行: ------------++--
第3行: --------++------
第4行: --------------++
第5行: --++------------
第6行: ------++--------
第7行: ----------++----
第8行: ----++----------
这是第5个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --++------------
第2行: ------++--------
第3行: ----------++----
第4行: --------------++
第5行: ----++----------
第6行: ++--------------
第7行: ------------++--
第8行: --------++------
这是第6个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --++------------
第2行: --------++------
第3行: ------------++--
第4行: ++--------------
第5行: ----++----------
第6行: --------------++
第7行: ----------++----
第8行: ------++--------
这是第7个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --++------------
第2行: --------++------
第3行: ------------++--
第4行: ------++--------
第5行: ++--------------
第6行: --------------++
第7行: ----------++----
第8行: ----++----------
这是第8个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --++------------
第2行: ----------++----
第3行: ++--------------
第4行: ------------++--
第5行: ------++--------
第6行: --------------++
第7行: ----++----------
第8行: --------++------
这是第9个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --++------------
第2行: ----------++----
第3行: --------------++
第4行: ----++----------
第5行: ++--------------
第6行: ------++--------
第7行: ------------++--
第8行: --------++------
这是第10个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --++------------
第2行: ------------++--
第3行: ----++----------
第4行: ----------++----
第5行: --------------++
第6行: --------++------
第7行: ++--------------
第8行: ------++--------
这是第11个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --++------------
第2行: ------------++--
第3行: --------++------
第4行: --------------++
第5行: ++--------------
第6行: ------++--------
第7行: ----------++----
第8行: ----++----------
这是第12个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --++------------
第2行: --------------++
第3行: ----------++----
第4行: ++--------------
第5行: ----++----------
第6行: --------++------
第7行: ------------++--
第8行: ------++--------
这是第13个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ++--------------
第3行: ------------++--
第4行: --------++------
第5行: --------------++
第6行: --++------------
第7行: ------++--------
第8行: ----------++----
这是第14个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: --------++------
第3行: --++------------
第4行: --------------++
第5行: ++--------------
第6行: ------------++--
第7行: ------++--------
第8行: ----------++----
这是第15个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: --------++------
第3行: --++------------
第4行: --------------++
第5行: ----------++----
第6行: ------++--------
第7行: ------------++--
第8行: ++--------------
这是第16个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: --------++------
第3行: ------------++--
第4行: ++--------------
第5行: ------++--------
第6行: --++------------
第7行: --------------++
第8行: ----------++----
这是第17个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: --------++------
第3行: --------------++
第4行: ------++--------
第5行: ++--------------
第6行: ------------++--
第7行: --++------------
第8行: ----------++----
这是第18个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ----------++----
第3行: --++------------
第4行: --------++------
第5行: --------------++
第6行: ++--------------
第7行: ------------++--
第8行: ------++--------
这是第19个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ----------++----
第3行: --++------------
第4行: ------------++--
第5行: ++--------------
第6行: ------++--------
第7行: --------------++
第8行: --------++------
这是第20个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ----------++----
第3行: --++------------
第4行: ------------++--
第5行: --------++------
第6行: ++--------------
第7行: --------------++
第8行: ------++--------
这是第21个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ----------++----
第3行: ------++--------
第4行: ++--------------
第5行: --------------++
第6行: --------++------
第7行: ------------++--
第8行: --++------------
这是第22个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ----------++----
第3行: ------++--------
第4行: --++------------
第5行: --------------++
第6行: --------++------
第7行: ------------++--
第8行: ++--------------
这是第23个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ----------++----
第3行: --------------++
第4行: ++--------------
第5行: ------++--------
第6行: ------------++--
第7行: --------++------
第8行: --++------------
这是第24个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ----------++----
第3行: --------------++
第4行: ++--------------
第5行: --------++------
第6行: ------------++--
第7行: --++------------
第8行: ------++--------
这是第25个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ----------++----
第3行: --------------++
第4行: --++------------
第5行: ------++--------
第6行: ++--------------
第7行: ------------++--
第8行: --------++------
这是第26个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ------------++--
第3行: --++------------
第4行: --------------++
第5行: --------++------
第6行: ++--------------
第7行: ------++--------
第8行: ----------++----
这是第27个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: ------------++--
第3行: --++------------
第4行: --------------++
第5行: ----------++----
第6行: ------++--------
第7行: ++--------------
第8行: --------++------
这是第28个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----++----------
第2行: --------------++
第3行: ------++--------
第4行: ------------++--
第5行: ++--------------
第6行: ----------++----
第7行: --++------------
第8行: --------++------
这是第29个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: ++--------------
第3行: --------++------
第4行: --------------++
第5行: --++------------
第6行: ------------++--
第7行: ----++----------
第8行: ----------++----
这是第30个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: ++--------------
第3行: --------++------
第4行: --------------++
第5行: ----------++----
第6行: ----++----------
第7行: ------------++--
第8行: --++------------
这是第31个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: --++------------
第3行: --------++------
第4行: --------------++
第5行: ----------++----
第6行: ++--------------
第7行: ----++----------
第8行: ------------++--
这是第32个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: --++------------
第3行: ------------++--
第4行: ----++----------
第5行: ----------++----
第6行: --------------++
第7行: ++--------------
第8行: --------++------
这是第33个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: --++------------
第3行: ------------++--
第4行: ----++----------
第5行: ----------++----
第6行: --------------++
第7行: --------++------
第8行: ++--------------
这是第34个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: --++------------
第3行: ------------++--
第4行: --------++------
第5行: ++--------------
第6行: --------------++
第7行: ----------++----
第8行: ----++----------
这是第35个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: --++------------
第3行: --------------++
第4行: --------++------
第5行: ------------++--
第6行: ++--------------
第7行: ----++----------
第8行: ----------++----
这是第36个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: --++------------
第3行: --------------++
第4行: ----------++----
第5行: ++--------------
第6行: ----++----------
第7行: --------++------
第8行: ------------++--
这是第37个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: ----------++----
第3行: ++--------------
第4行: --------++------
第5行: --++------------
第6行: --------------++
第7行: ----++----------
第8行: ------------++--
这是第38个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: ----------++----
第3行: --------------++
第4行: --++------------
第5行: ------------++--
第6行: ++--------------
第7行: ----++----------
第8行: --------++------
这是第39个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: ----------++----
第3行: --------------++
第4行: ----++----------
第5行: ++--------------
第6行: ------------++--
第7行: --------++------
第8行: --++------------
这是第40个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: ------------++--
第3行: ++--------------
第4行: --------------++
第5行: --------++------
第6行: --++------------
第7行: ----------++----
第8行: ----++----------
这是第41个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: ------------++--
第3行: ----++----------
第4行: --------------++
第5行: --++------------
第6行: --------++------
第7行: ++--------------
第8行: ----------++----
这是第42个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: ------------++--
第3行: --------++------
第4行: --++------------
第5行: ----------++----
第6行: ++--------------
第7行: ----++----------
第8行: --------------++
这是第43个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: ------------++--
第3行: --------++------
第4行: ----++----------
第5行: ++--------------
第6行: ----------++----
第7行: --------------++
第8行: --++------------
这是第44个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: --------------++
第3行: ++--------------
第4行: ----++----------
第5行: ----------++----
第6行: --++------------
第7行: ------------++--
第8行: --------++------
这是第45个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: --------------++
第3行: ++--------------
第4行: --------++------
第5行: ------------++--
第6行: --++------------
第7行: ----------++----
第8行: ----++----------
这是第46个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------++--------
第2行: --------------++
第3行: --------++------
第4行: ----++----------
第5行: ++--------------
第6行: ------------++--
第7行: --++------------
第8行: ----------++----
这是第47个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ++--------------
第3行: ------++--------
第4行: ----------++----
第5行: --------------++
第6行: --++------------
第7行: ------------++--
第8行: ----++----------
这是第48个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ++--------------
第3行: --------------++
第4行: ------++--------
第5行: --++------------
第6行: ------------++--
第7行: ----++----------
第8行: ----------++----
这是第49个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ++--------------
第3行: --------------++
第4行: ----------++----
第5行: ----++----------
第6行: ------------++--
第7行: --++------------
第8行: ------++--------
这是第50个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: --++------------
第3行: ------++--------
第4行: ----------++----
第5行: --------------++
第6行: ----++----------
第7行: ++--------------
第8行: ------------++--
这是第51个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: --++------------
第3行: ------++--------
第4行: ------------++--
第5行: ----++----------
第6行: --------------++
第7行: ----------++----
第8行: ++--------------
这是第52个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: --++------------
第3行: ----------++----
第4行: ++--------------
第5行: ------------++--
第6行: ------++--------
第7行: --------------++
第8行: ----++----------
这是第53个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: --++------------
第3行: --------------++
第4行: ++--------------
第5行: ------++--------
第6行: ------------++--
第7行: ----++----------
第8行: ----------++----
这是第54个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ----++----------
第3行: ++--------------
第4行: ----------++----
第5行: --------------++
第6行: --++------------
第7行: ------++--------
第8行: ------------++--
这是第55个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ----++----------
第3行: ++--------------
第4行: ------------++--
第5行: --++------------
第6行: --------------++
第7行: ----------++----
第8行: ------++--------
这是第56个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ----++----------
第3行: --------------++
第4行: ------++--------
第5行: ------------++--
第6行: ++--------------
第7行: ----------++----
第8行: --++------------
这是第57个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ------------++--
第3行: ++--------------
第4行: ----++----------
第5行: --------------++
第6行: ----------++----
第7行: ------++--------
第8行: --++------------
这是第58个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ------------++--
第3行: ++--------------
第4行: ------++--------
第5行: --++------------
第6行: --------------++
第7行: ----------++----
第8行: ----++----------
这是第59个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ------------++--
第3行: --++------------
第4行: ------++--------
第5行: --------------++
第6行: ++--------------
第7行: ----++----------
第8行: ----------++----
这是第60个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ------------++--
第3行: --++------------
第4行: ----------++----
第5行: ----++----------
第6行: ++--------------
第7行: ------++--------
第8行: --------------++
这是第61个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ------------++--
第3行: --++------------
第4行: ----------++----
第5行: ----++----------
第6行: ++--------------
第7行: --------------++
第8行: ------++--------
这是第62个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: ------------++--
第3行: ------++--------
第4行: ++--------------
第5行: ----++----------
第6行: --------------++
第7行: ----------++----
第8行: --++------------
这是第63个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: --------------++
第3行: ------++--------
第4行: ++--------------
第5行: ----++----------
第6行: ----------++----
第7行: --++------------
第8行: ------------++--
这是第64个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------++------
第2行: --------------++
第3行: ------++--------
第4行: ++--------------
第5行: ------------++--
第6行: --++------------
第7行: ----------++----
第8行: ----++----------
这是第65个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ++--------------
第3行: --------++------
第4行: --++------------
第5行: --------------++
第6行: ----++----------
第7行: ------------++--
第8行: ------++--------
这是第66个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: --++------------
第3行: ------------++--
第4行: ++--------------
第5行: ----++----------
第6行: --------++------
第7行: --------------++
第8行: ------++--------
这是第67个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: --++------------
第3行: ------------++--
第4行: ++--------------
第5行: ------++--------
第6行: --------------++
第7行: --------++------
第8行: ----++----------
这是第68个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ----++----------
第3行: ++--------------
第4行: ------------++--
第5行: --------++------
第6行: --------------++
第7行: --++------------
第8行: ------++--------
这是第69个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ----++----------
第3行: ++--------------
第4行: --------------++
第5行: ------++--------
第6行: --++------------
第7行: ------------++--
第8行: --------++------
这是第70个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ----++----------
第3行: ++--------------
第4行: --------------++
第5行: --------++------
第6行: --++------------
第7行: ------++--------
第8行: ------------++--
这是第71个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ----++----------
第3行: --------++------
第4行: ------------++--
第5行: ++--------------
第6行: ------++--------
第7行: --++------------
第8行: --------------++
这是第72个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ----++----------
第3行: --------++------
第4行: --------------++
第5行: ++--------------
第6行: ------++--------
第7行: --++------------
第8行: ------------++--
这是第73个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ----++----------
第3行: ------------++--
第4行: --++------------
第5行: ------++--------
第6行: --------------++
第7行: ++--------------
第8行: --------++------
这是第74个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ----++----------
第3行: ------------++--
第4行: --++------------
第5行: --------------++
第6行: --------++------
第7行: ++--------------
第8行: ------++--------
这是第75个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ----++----------
第3行: ------------++--
第4行: ------++--------
第5行: ++--------------
第6行: --------------++
第7行: --++------------
第8行: --------++------
这是第76个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ------++--------
第3行: ++--------------
第4行: --------++------
第5行: --------------++
第6行: --++------------
第7行: ------------++--
第8行: ----++----------
这是第77个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ------++--------
第3行: --++------------
第4行: --------------++
第5行: --------++------
第6行: ------------++--
第7行: ++--------------
第8行: ----++----------
这是第78个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ------++--------
第3行: ------------++--
第4行: ++--------------
第5行: ----++----------
第6行: --------++------
第7行: --++------------
第8行: --------------++
这是第79个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: ------++--------
第3行: ------------++--
第4行: ++--------------
第5行: --------------++
第6行: --++------------
第7行: --------++------
第8行: ----++----------
这是第80个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ----------++----
第2行: --------------++
第3行: --++------------
第4行: ------++--------
第5行: ++--------------
第6行: ------------++--
第7行: --------++------
第8行: ----++----------
这是第81个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------------++--
第2行: ++--------------
第3行: ----++----------
第4行: --------------++
第5行: ----------++----
第6行: ------++--------
第7行: --++------------
第8行: --------++------
这是第82个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------------++--
第2行: --++------------
第3行: ------++--------
第4行: ++--------------
第5行: --------------++
第6行: --------++------
第7行: ----++----------
第8行: ----------++----
这是第83个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------------++--
第2行: --++------------
第3行: ----------++----
第4行: ----++----------
第5行: ++--------------
第6行: ------++--------
第7行: --------------++
第8行: --------++------
这是第84个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------------++--
第2行: ----++----------
第3行: ++--------------
第4行: ----------++----
第5行: --------------++
第6行: --------++------
第7行: --++------------
第8行: ------++--------
这是第85个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------------++--
第2行: ----++----------
第3行: --------------++
第4行: --++------------
第5行: --------++------
第6行: ++--------------
第7行: ----------++----
第8行: ------++--------
这是第86个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------------++--
第2行: ------++--------
第3行: --++------------
第4行: --------++------
第5行: --------------++
第6行: ++--------------
第7行: ----++----------
第8行: ----------++----
这是第87个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------------++--
第2行: ------++--------
第3行: --++------------
第4行: --------------++
第5行: ----------++----
第6行: ++--------------
第7行: ----++----------
第8行: --------++------
这是第88个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: ------------++--
第2行: --------++------
第3行: ----++----------
第4行: ++--------------
第5行: ----------++----
第6行: --------------++
第7行: --++------------
第8行: ------++--------
这是第89个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------------++
第2行: --++------------
第3行: ------++--------
第4行: ++--------------
第5行: ------------++--
第6行: --------++------
第7行: ----++----------
第8行: ----------++----
这是第90个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------------++
第2行: --++------------
第3行: --------++------
第4行: ----++----------
第5行: ++--------------
第6行: ------------++--
第7行: ------++--------
第8行: ----------++----
这是第91个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------------++
第2行: ----++----------
第3行: ++--------------
第4行: ----------++----
第5行: --++------------
第6行: --------++------
第7行: ------------++--
第8行: ------++--------
这是第92个解法 如下:
第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8
第1行: --------------++
第2行: ------++--------
第3行: ++--------------
第4行: ----++----------
第5行: ----------++----
第6行: --++------------
第7行: ------------++--
第8行: --------++------
八皇后共有92个解法
原文地址：http://www.cnblogs.com/jillzhang/archive/2007/10/21/922830.html