高等数学：第四章 不定积分（2）分部积分法 特殊类型函数的积分

§4.3  分部积分法

设函数， 具有连续导数， 那么

移项得：

对这个等式两边求不定积分，得：

                              (1)

式(1)称为分部积分公式。

(1)还可表述成如下形式：

                                    (2)

它的作用是：

若求有困难，而求较容易时，可采用分部积分公式。分部积分法是数学上常用的一种方法 — 转化法的具体运用。

【例1】求 

解：设 ，    

，   

在进行分部积分时，把被积表达式中的哪一部分取作，是任意的。但是，如果与的选取不恰当，往往使问题变得更复杂。

例如，在上例中，若选择 ，  

那么 ，   

显然，求  较  更困难。

【例2】求 ，               

解：，             ，       

，              ，    

    

所以  

这表明：可连续使用分部积分法。

【例3】求 

解：设  ，    

， 

再设 ，     

，   

           (*)

将移到左端，两端同除以2，并加上任意常数 C，得到：

 

例三的评注：

1、求，使用两次分部积分法得( * )式，又转回到。表面上看，我们在转圈子，并没有前进，实质上却不然。

若设 ( 是一个未知函数) ，则有

这是一个关于的一元一次方程，问题转化为求此方程的解。很明显，我们的确把问题的解决大大地向前推进了一步，并未落入“怪圈”。

2、怪圈现象在现实中广泛存在

(1)、分部积分怪圈

(2)、罗必达法则怪圈

(3)、图形怪圈

(4)、语义怪圈

理发师：我要为世界上所有不自已刮胡子的人刮胡子，

但不为世界上所有自己刮胡子的人刮胡子。

某  人：请问，你为自己刮胡子吗?

实际解题中，往往是第一、第二换元法与分部积分法揉合在一起使用；而且在分部积分法使用熟练之后，不必设出与，只要记在心中即可。

【例4】求 

解：令 ，  ，  

§4.4  特殊类型函数的积分举例

一、有理函数积分

1、有理函数与有理函数的积分

有理函数是指两个既约多项式之商所表示的函数，它具有如下形式：

其中：和均为正整数或零； 及均是实数，且、，多项式与之间无公因子。

若， 称它为真分式；

若， 称它为假分式。

形如的不定积分称为有理函数的积分。

若是假分式，利用多项式的除法， 总可以将假分式化成多项式与真分式之和的形式。例如：

多项式的积分我们已经会求，因此，计算的关键是：

当为真分式时，如何求。

2、代数学中的一个结论

设为真分式， 若多项式在实数范围内能分解成一次因子和二次质因子的乘积，即：

其中：  是正整数。

则 可以分解成下列 部分分式之和

常数  可利用待定系数法来确定。

【例1】求 

解：被积函数分解成部分分式

通分得 

令  得 

令  得 

令 得  ， 有 

于是， 有

 

【例2】求 

解：

比较恒等式两端有：

 

二、三角函数有理式的积分

1、何谓三角函数的有理式

三角有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。

由于三角函数都可用及的有理式表示， 故三角有理式也就是与的有理式。记作，其中表示两个变量与 的有理式。

2、万能替换

三角有理式的积分  均可通过替换将它转化成关于的有理分式函数的积分。

事实上， 有

 ，  

那么，三角有理式的积分为

由于是的有理分式函数，而有理分式函数的积分可以化为部分分式的积分，因此，可以说三角函数有理式的积分问题也获得了完满的解决。

【例3】求 

解：令 

【例4】求 

解：令 

【例4解法一】

【例4解法二】

三、简单无理函数的积分

一般说来，无理函数的积分十分地复杂，有些无理函数甚至无法求出用有限形式表示的原函数。

这里， 我们仅讨论  及  这两类简单无理函数的积分， 其中是、这两个变量的有理式。

【例5】求 

解：令 ， ， 

【例6】求 

解：令  

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