无向图的最小割问题

再不写博客我就要忘光了= =

一个无向连通网络，去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集。而最小割集是其中权值和最小的割集。

网络流

说起最小割，最为朴素的算法大约是从网络流入手，枚举汇点，比较所得到的最大流（最大流=最小割），其中最小的就是我们所求的答案。
但是显然这样算是非常非常慢的，进行了很多次重复而毫无意义的计算。即便可以求出正确答案，但效率低下等于没求，复杂度不小于O（n^4）。

Stoer-Wagner

首先抛去算法的正确性时间复杂度等等一切东西不谈，以下是整个算法的过程：

(该过程中无向图点的标号为0~n-1)

0.
id[]：点的编号，即大点
dis[] ： 大点离其他大点的距离
g[][] ： 无向图上两点之间的距离

1.对于每个点进行标号(id[]),即id[i]=j。我们将标号相同的点视作“一体的”，即一个包含了若干点的“大点”。

2.找到对于0号大点（id[0]）距离最远的大点maxp(id[maxp])。第一次进行2操作的时候，这个距离dis[ id[i] ] = g[ id[0] ][ id[i] ]。我们可以认为，这个时候的大点maxp与大点0号进行了“链接”，是一体的，但不是同一个大点。

3.更新所有非0号且未做过maxp的大点的dis[],将他们的dis[i]+=g[id[i]][id[maxp]]; 因为此时的maxp与0号大点是一体的,因此从0号大点到达 该大点的距离也需要加上 对于id[maxp] 的距离。

4.找到dis[id[i]]最为大的点，设为新的maxp，上一个maxp则用prev存起来。如果该操作后，所有点都成为过maxp,进入步骤5，否则,重复步骤3.

5.用当前的dis[id[maxp]]更新答案。显然，dis[id[maxp]]是与该点相连的所有的边权和。这是因为对于某个dis[i]的更新，我们只会用g[ id[ ] ][ id[i] ]来更新，当两个点没有直接相连的边时，g值为0，不影响。

6.合并当前的maxp与prev（即上一个maxp），注意这里是合并，而不是“链接”，因此我们对与id[prev]有关的边的权值，加上该边起点到id[maxp]的距离。该操作结束后，删除maxp这个大点，即用最后一个结点覆盖它本身。
(id[maxp]=id[–n]);

7.如果大点只剩一个，退出，否则，重复步骤2.

这个过程一步步描述非常冗杂，用更为简洁的说法就是：

对于任意的某两个点s,t如果他们在最小割中在同一个集合，那么合并他们对答案没有影响。

或许你会有疑问。既然我们每次求的都是对于某一个点相连接的边权和，为什么最后会成为最小割呢？显然，在步骤6中我们进行了合并的操作，此时我们所求的对于某个“大点”相邻的某些边，实际上是对于 若干的点的集合 所相邻的边，即一个割集。

在一次完整的操作中，我们最多进行n-1次合并操作。因此算法复杂度为O(n^3)

附上代码：

//Minimum Cut.cpp
//
//Glasses
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define LL int
#define MAXN 3000 +10
#define MOD 1000000007
#define INF 0x7f7f7f7f
#define FOR(i,a,b) for(LL i = (a), i##end = (b); i <= i##end; ++i)
#define ROF(i,a,b) for(LL i = (a), i##begin = (b); i >= i##begin; --i)
#define output(a) printf("%d\n",(a));
#define input(a) scanf("%d",&(a));
LL read()
{  
    LL x=0;char ch=getchar();  
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();  
    while(ch>='0' && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();  
    return x;
}  

struct Stoer_Wagner
{
    LL g[MAXN][MAXN];
    LL n;
    LL id[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];

    void init(LL initn)
    {
        this->n=initn;
        memset(g,0,sizeof(g));
    }

    void add_edge(LL x,LL y,LL z)
    {
        g[x][y]=g[y][x]=g[x][y]+z;
    }

    LL solve()
    {
        LL ans=INF;
        FOR(i,0,n-1)id[i]=i;
        while(n>1)
        {
            LL max_p=1,pre_v=0;
            FOR(i,1,n-1)
            {
                dis[id[i]]=g[id[0]][id[i]];
                if(dis[id[i]]>dis[id[max_p]])max_p=i;
            }
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            vis[id[0]]=1;
            FOR(i,1,n-1)
            {
                if(i==n-1)
                {
                    ans=min(ans,dis[id[max_p]]);    
                    FOR(j,0,n-1)
                    {
                        g[id[pre_v]][id[j]]+=g[id[j]][id[max_p]];
                        g[id[j]][id[pre_v]]=g[id[pre_v]][id[j]];
                    }
                    id[max_p]=id[--n];
                }
                vis[id[max_p]]=1;
                pre_v=max_p;max_p=-1;
                FOR(j,1,n-1)
                    if(!vis[id[j]])
                    {
                        dis[id[j]]+=g[id[j]][id[pre_v]];
                        if(max_p==-1||dis[id[j]]>dis[id[max_p]])max_p=j;
                    }
            }
        }
        return ans;
    }
}so;

请让我把错误都吃掉:(

最后附上裸题：

poj 2914 Minimum Cut 我是一只传送门