Wilson定理推论

• Wilson定理: 设 $p$ 是一个素数，则

$$(p-1)!\equiv -1(modp).$$

    此定理的证明一般不难找到，此处不作赘述。下面介绍一下相关的推论以及证明（选自《信息安全数学基础（第二版）第2章习题》）
 

• 推论1: 如果 $p$ 是奇素数，那么

$$1^2\cdot 3^2\cdot \cdots \cdot (p-4{)}^2\cdot (p-2{)}^2\equiv (-1{)}^{\frac{p+1}{2}}(modp)$$

$证明：$
$\begin{array}{rl}(p-1)!& =1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cdots \cdot (p-4)(p-3)(p-2)(p-1)\\ & =1\cdot [p-(p-2)]\cdot 3\cdot [p-(p-4)]\cdot \cdots \cdot (p-4)(p-3)(p-2)(p-1)\\ & =1\cdot (p-1)\cdot 3\cdot (p-3)\cdot \cdots \cdot (p-4)[p-(p-4)][p-(p-2)]\\ & \equiv 1^2\cdot 3^2\cdot \cdots \cdot (p-4{)}^2(p-2{)}^2(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}(modp)（p为奇数）\end{array}$
$由Wilson定理可知，若p为素数，则(p-1)!\equiv -1(modp).$
$所以$
$\begin{array}{rl}& 1^2\cdot 3^2\cdot \cdots \cdot (p-4{)}^2(p-2{)}^2(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(modp)\\ & \Rightarrow 1^2\cdot 3^2\cdot \cdots \cdot (p-4{)}^2(p-2{)}^2(-1{)}^{p-1}\equiv (-1{)}^{\frac{p+1}{2}}(modp)\\ & \Rightarrow 1^2\cdot 3^2\cdot \cdots \cdot (p-4{)}^2(p-2{)}^2\equiv (-1{)}^{\frac{p+1}{2}}(modp)\end{array}$
 

• 推论2: 如果 $p$ 是素数，并且$p\equiv 3(mod4)$，那么

$$(\frac{p-1}{2})!\equiv \pm 1(modp).$$

$证明：$
$因为p\equiv 3(mod4)，所以p=4m+3（m\in \mathbb{Z}）$
$\begin{array}{rl}(4m+2)!& =1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (2m+1)(2m+2)\cdot \cdots \cdot (4m+1)(4m+2)\\ & =1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (2m+1)[p-(2m+1)]\cdot \cdots \cdot (p-2)(p-1)\\ & =[(2m+1)!{]}^2(-1{)}^{2m+1}.\end{array}$
$由Wilson定理可知，若p为素数，则(p-1)!\equiv -1(modp).$
$所以$
$\begin{array}{rl}& [(2m+1)!{]}^2(-1{)}^{2m+1}\equiv -1(modp)\\ & \\ & \Rightarrow [(2m+1)!{]}^2(-1{)}^{2(2m+1)}\equiv (-1{)}^{2m+2}(modp)\\ & \\ & \Rightarrow [(2m+1)!{]}^2\equiv 1(modp)\\ & \\ & \Rightarrow [(2m+1)!{]}^2-1\equiv 0(modp)\\ & \\ & \Rightarrow [(2m+1)!+1][(2m+1)!-1]\equiv 0(modp)\end{array}$
$因为p为素数，$
$所以必有(2m+1)!+1\equiv 0(modp)或(2m+1)!-1\equiv 0(modp)$
$即(2m+1)!\equiv \pm 1(modp)\Rightarrow (\frac{p-1}{2})!\equiv \pm 1(modp).$
 

• 推论3：如果 $p$ 是素数，并且$0<k<p$，那么

$$(p-k)!(k-1)!\equiv (-1{)}^k(modp).$$

$证明：$
$\begin{array}{rl}(p-1)!& =1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (p-k)(p-k+1)\cdot \cdots \cdot (p-2)(p-1)\\ & =1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (p-k)[p-(k-1)]\cdot \cdots \cdot (p-2)(p-1)\\ & =(p-k)!(k-1)!(-1{)}^{k-1}（0<k<p）\end{array}$
$由Wilson定理可知，若p为素数，则(p-1)!\equiv -1(modp).$
$所以$
$\begin{array}{rl}& \\ & (p-k)!(k-1)!(-1{)}^{k-1}\equiv -1(modp)\\ & \Rightarrow (p-k)!(k-1)!(-1{)}^{2(k-1)}\equiv (-1{)}^k(modp)\\ & \Rightarrow (p-k)!(k-1)!\equiv (-1{)}^k(modp)\end{array}$
 
 
参考文献
[1] 殷堰工，Wilson定理的若干探讨，苏州教育学院学报，第17卷第3期，2000年9月。
[2] 叶寿坤，威尔逊定理的两个推论及应用，龙岩师专学报，第11卷第3期，1993年8月。