八数码问题 【隐式图bfs】

题目：八数码问题。

题意：编号为1～8的8个正方形滑块被摆成3行3列（有一个格子留空）， 每次可以把与空格相邻的滑块（有公共边才算相邻）移到空格中，而它原来的位置就成为了新的空格。 给定初始局面和目标局面（用0表示空格），你的任务是计算出最少的移动步数。 如果无法到达目标局面，则输出-1。

思路：用bfs搜索0的位置，每变换一次0，就会得到一个新局面，每个局面有8次变换。再每次变换时记录变换步数。

参考：入门经典-八数码问题 - P199

代码：

bfs:

int bfs(){
    init_lookup_table();//初始化查找表
    int frontt = 1,rear = 2;
    while(frontt < rear){
        State& s = st[frontt];
        if(memcmp(goal,s,sizeof(s)) == 0) return frontt;//找到目标
        int z;
        for(z=0;z<9;z++) if(!s[z]) break;//找到0位置
        int x = z/3,y = z%3;//获取行和列
        for(int d=0;d<4;d++){
            int newx = x + dx[d];
            int newy = y + dy[d];
            int newz = newx * 3 + newy;//新的0位置
            if(newx >= 0 && newx < 3 && newy >= 0 && newy < 3){
                State& t = st[rear];//指向队尾，准备将新序列入队
                memcpy(&t,&s,sizeof(s));//将当前序列复制到t
                t[newz] = s[z];//交换0位置
                t[z] = s[newz];
                dist[rear] = dist[frontt] + 1;//步数在队首的基础上加一
                if(try_to_insert(rear)) rear++;//判重，不重复队尾加一
            }
        }
        frontt++;//出队
    }
return 0;//没有找到
}
int main()
{
    for(int i=0;i<9;i++) scanf("%d",&st[1][i]);
    for(int i=0;i<9;i++) scanf("%d",&goal[i]);
    int ans = bfs();
    if(ans > 0) printf("%d\n",dist[ans]);
    else printf("-1\n");
    return 0;
}

其中init_lookup_table()和try_to_insert(rear)是判重函数：

这里提供3种方法：

（1）编码解码法：把0～8的全排列和0～362879的整数一一对应起来。
思路：将序列上对应的位置的阶乘 * 此位置之后小于本数的个数

比如：876543210   8! *8 + 7!*7 + ... + 0!*0

代码：

int vis[362880],fact[9];
void init_lookup_table(){
    fact[0] = 1;
    for(int i=1;i<9;i++) fact[i] = fact[i-1] * i;//1~8的阶乘
}
int try_to_insert(int s){
    int code = 0;
    for(int i=0;i<9;i++){
        int cnt = 0;
        for(int j=i+1;j<9;j++) if(st[s][j] < st[s][i]) cnt++;
        code += fact[8-i] * cnt;//当前序列是递增序的第几个
    }
    if(vis[code]) return 0;
    return vis[code] = 1;
}

（2）哈希法： 只需要设计一个所谓的哈希函数 h ( x ) ，然后将任意结点 x 映射到某个给定范 围 [ 0 , M -1] 的整数即可

判重：建立链表，将哈希函数得到的位置进行链表查询，没有找到说明不重，插入链表。

代码：

const int hashsize = 1000003;
int head[hashsize],next[maxstate];
void init_lookup_table(){memset(head,0,sizeof(head));}
int hashfun(State& s){
    int v = 0;
    for(int i=0;i<9;i++) v = v*10 + s[i];//将9个数字合成9位数
    return v % hashsize;//确保hash函数值是不超过hash表的大小的非负整数
}
int try_to_insert(int s){
    int h = hashfun(st[s]);
    int u = head[h];
    while(u){
        if(memcmp(st[u],st[s],sizeof(st[s])) == 0) return 0;
        u = next[u];
    }
    next[s] = head[h];//插入链表中
    head[h] = s;
    return 1;
}

（3）转换数字法：直接将9个数转换成一个9位数，然后利用set集合判重即可。

代码：

setvis;
void init_lookup_table(){vis.clear();}
int try_to_insert(int s){
    int v = 0;
    for(int i=0;i<9;i++) v = v*10 + st[s][i];
    if(vis.count(v)) return 0;
    vis.insert(v);
    return 1;
}