【学/复习记录】最/次/k短路

最短路

1、弗洛伊德求多源最短路

时间复杂度n^3,慎用。
实现过程就是枚举中间点k，三层for处理出任意两点之间的最短路。
板子：codevs 1077 多源最短路
简单的应用：codevs 1079 回家

2、SPFA

详解
重点是松弛操作。
用队列实现。
首先将起点入队，然后一层一层扩展节点。每扩展到一个节点都将到达这个节点经过的路径与现有的路径长度比较，若更小，则更新。如果要更新的点不在队列中，入队。
期望时间复杂度为O（kE），k为每个点的平均入队次数，E是边的数量。然而复杂度玄学，，如果数据卡的话容易gg，还是慎用。
spfa的时间复杂度只与边有关。
spfa可以处理负环。如果一个点入队超过n次，那么说明存在负环。
spfa有两个优化：SLF和LLL。
SLF是双端队列优化。原理：将点入队时，如果这个点的最短路径估计值小于队首的最短路径估计值，那么把先更新这个点会更优，所以放到队列前面，否则就放到队尾。
LLL优化不会。
应用：codevs 1557 热浪
板子。
codevs 2273 扬帆远洋大战牧师妹酱
双端队列优化的实例
codevs 1316 文化之旅
稍麻烦一点的spfa。

3、迪杰斯特拉（Dijkstra）

觉得重载运算符比较繁琐所以一直没怎么用……
实际上这要比spfa稳定。
时间复杂度：O（（n+m）logn）
用小根堆实现
板子及详解
将点集分为三部分，一部分已经更新过最短路，设为黑点；另一部分尚未更新最短路，设为白点；当前正在更新的为蓝点。
初始时黑点只有起始点。将起始点放入堆中，扩展与之相邻的点，即蓝点。按照最短路径递增顺序将蓝点扩展出的白点的最短路更新后，把蓝点标记为黑点。

次短路

如果最短路可以被更新，那么直接更新最短路。次短路等于更新前的最短路。
如果最短路不可以被更新，次短路可以被更新，那么就更新次短路。
如果次短路可以被次短路更新，就更新~
codevs 1269 匈牙利游戏

次短路不能初始化为0 具体见↑

k短路

不会。