欧拉筛和筛法求欧拉函数——杨子曰数学

欧拉筛和筛法求欧拉函数——杨子曰数学

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我们都知道，再这个世界上，有一个筛质数算法叫做埃筛，它的代码长这样：

void get_prime(int n){
	memset(flag,1,sizeof(flag));//flag开成bool就可以用memset赋值成1了
	flag[1]=0;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		if (!flag[i]) continue;
		pr[++cnt]=i;
		for (int j=2;i*j<=n;j++){
			flag[i*j]=0;
		} 
	}
}

但是这种算法的太慢了（其实还好啦！），只有O(n log log n)，不能满足我们的需求，今天给大家曰一种特别nb的筛素数的算法——欧拉筛，复杂度是O(n)，优不优秀！！（你可能会说：也没比埃筛快多少呀！，在下面你会被它的用途，好处惊到）

先来思考一下，埃筛为什么会慢？因为它会把一个合数重复筛很多遍，比如12会被2筛一遍，会被3筛一遍，那么我们有没有什么办法让一个数只被筛一次捏？黑喂狗：

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我们要做到的是一个合数只被它最小的质因数筛一次，So，我们需要用一个数组v[i]，表示i的最小质因数，那么也就是说如果v[i]=i则说明i是一个质数，现在我们要想办法维护这个数组v

我们这样来操作：

1. 把v数组全部赋成0
2. 从2~n考虑每一个i
3. 如果扫到当前v[i]=0，也就是还没有被比它小的任何一个质数更新到，说明这是一个质数，记录下来
4. 对于i，我们扫描每个小于v[i]的质数p，那么对于i*p这个数，它的最小质因数一定是p，因为i的最小质因数一定大于等于p
   然后我们就完美地实现了欧拉筛

代码走起：

void get_prime(int n){
	memset(v,0,sizeof(v));
	for (int i=2;i<=n;i++){
		if (v[i]==0){
			v[i]=i;
			pr[++cnt]=i;
		}
		for (int j=1;j<=cnt;j++){
			if (pr[j]>v[i]||pr[j]>n/i) break;
			v[i*pr[j]]=pr[j];
		}
	} 
}

目前为止，肯定还有很多人没有体会到这个算法的优秀之处，且听我一一道来：

首先它可以用O(log n)分解质因数，我们已经有了每个数的最小质因数，那我们岂不是可以对当前的v[n]的指数++，然后n/=v[n]，直到n变成1了为止，有木有发现不用枚举了！！美滋滋

void fac(int n){
	while(n>1){
		r[v[n]]++;
		n/=v[n];
	} 
}

如果你还没有被这个算法所折服，我再来告诉你，他可以O(n)筛法求出1~n的所有欧拉函数（什么？欧拉函数是什么？戳）

我们都知道欧拉函数的通向公式是：
$$\phi (n)=n\ast (1-\frac{1}{p_1})\ast (1-\frac{1}{p_2})\ast (1-\frac{1}{p_3})\ast \cdots \ast (1-\frac{1}{p_s})$$
如果一个数n它只比m多一个质因数p，也就是$n=m\ast p$，且m没有质因数p，那我们是不是就可以用这个式子算出$\phi (n)$：
$$\phi (n)=\phi (m)\ast (p-1)$$
如果不理解的话，简单推导一下：
$$如果\phi (m)=m\ast (1-\frac{1}{p_1})\ast (1-\frac{1}{p_2})\ast (1-\frac{1}{p_3})\ast \cdots \ast (1-\frac{1}{p_s})$$
$$那么\phi (n)=m\ast p\ast (1-\frac{1}{p_1})\ast (1-\frac{1}{p_2})\ast (1-\frac{1}{p_3})\ast \cdots \ast (1-\frac{1}{p_s})\ast (1-\frac{1}{p})$$
上面下面比较一下，你就会发现下面就比上面多乘了一个$p\ast (1-\frac{1}{p})$，就是$p-1$

那么我们就可以用欧拉筛，在枚举小于v[i]的质数p，并更新$i\ast p$时，有没有发现$i\ast p$就是比i多了一个p，而且i没有p这个质因子（有可能有，因为当v[i]=p的时候我们也会去更新，等下在讲这个情况），于是乎，我们就可以用上面的方法更新了，也就是：$\phi (i\ast p)=\phi (i)\ast (p-1)$

BUT，v[i]=p的时候我们也会去更新$i\ast p$，但是这个时候$i\ast p$和i就都有质因子i了，这时候，看上面两个式子，求$\phi (i\ast p)$时后面就不用多乘一个$(1-\frac{1}{p})$，但是前面要多乘一个p，在这种情况下，我们得到的是：$\phi (i\ast p)=\phi (i)\ast p$，判断一下即可

void get_phi(int n){
	phi[1]=1;
	memset(v,0,sizeof(v));
	for (int i=2;i<=n;i++){
		if (v[i]==0){
			v[i]=i;
			pr[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for (int j=1;j<=cnt;j++){
			if (pr[j]>v[i]||pr[j]>n/i) break;
			v[i*pr[j]]=pr[j];
			if (v[i]==pr[j]) phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
			else phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
		}
	} 
}

有没有瞬间觉得欧拉筛很nb！
——没有(逃

OK，完事

参考：《算法竞赛进阶指南》 李煜东 著