荷西·H
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随机过程笔记(2) 绪论(2)

文章目录

  • 各种分布
      • 两点分布 X~B(1,p)
      • 二项分布 X~B(n,p)
      • Poisson分布
      • 指数分布
      • 正态分布
      • 二维正态分布
      • 特征函数
          • 意义
          • 概念
          • 性质
  • 概念与定义
      • 随机变量（续）
      • 自相关函数和自协方差函数
          • 自相关函数
          • 自协方差函数
          • 二者区别
      • 随机向量
      • 随机过程
          • 分类
          • 有限维分布族与特征函数族
          • 随机过程的数字特征
          • 多个随机过程的数字特征
      • 复随机变量
          • 复数的方差的求法
          • 复随机变量的概念
          • 复随机变量 的方差、期望、自相关函数
          • 例题
      • 多元特征函数
          • 定义
          • 性质
      • 独立与不相关的总结
    • n维正态分布
      • 性质
    • 琐碎
      • 牛顿- 莱布尼茨法则
      • 密度函数、分布函数、特征函数之间之间的关系




各种分布

两点分布 X~B(1,p)

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
这个不用记 当场推很快的


二项分布 X~B(n,p)

在这里插入图片描述

二项分布可以看成多次独立的两点分布
随机过程笔记(2) 绪论(2)_第1张图片

E(X+Y)=E(X)+E(Y)是期望本身就有的性质
D(X+Y)=D(X)+D(Y) 则是因为 独立–》 不相关 --》 Cov(X,Y)=0 推出的


Poisson分布

随机过程笔记(2) 绪论(2)_第2张图片


指数分布

在这里插入图片描述在这里插入图片描述


正态分布

  • 一维正态
    在这里插入图片描述

二维正态分布

随机过程笔记(2) 绪论(2)_第3张图片

特征函数

意义

如何理解统计中的特征函数？ - 马同学的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/23686709/answer/376439033

概念
  • 刻画随机变量的数字特征有很多，什么期望啊，方差啊，现在还多了个特征函数
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第4张图片
  • 其中t为任意实数，j 为虚数(j2=-1)
    一般情况下 对复随机变量积分以后得到的也是一个复函数

要掌握常见的分布的特征函数 像掌握其密度函数和分布函数那样牢牢记住！

  • 两点分布
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第5张图片

  • 二项分布
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第6张图片
    是两点分布函数的n次方

  • 泊松分布
    在这里插入图片描述

  • 标准正态分布
    以上都是离散的随机变量 现在是连续随机变量

ϕ ( t ) = e − t 2 / 2 \phi(t)=e ^{-t^{2}/2} ϕ(t)=e−t2/2

比较特殊 不是复函数了
随机过程笔记(2) 绪论(2)_第7张图片

性质

随机过程笔记(2) 绪论(2)_第8张图片
前三条的证明：
随机过程笔记(2) 绪论(2)_第9张图片

ref@https://www.bilibili.com/video/av57014611/?p=7

  • 第四条证明：
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第10张图片
    很好用！ 如果是用概率密度函数求 就要用卷积的方式，但是特征函数的花就直接求乘积即可！

如果有看到类似如下的 ，要求证明多个i.i.d仍然是xx分布的时候可以考虑这个性质
随机过程笔记(2) 绪论(2)_第11张图片
在这里插入图片描述
随机过程笔记(2) 绪论(2)_第12张图片

  • 第一条的证明：

在特征函数的意义里面我们可以知道，特征函数展开就是各阶矩！（特征特征，每阶矩都是一个特征）

随机过程笔记(2) 绪论(2)_第13张图片
利用牛顿-莱布尼茨法则

  • 用处
    如果我们已经知道了特征函数，我们想要求k阶原点矩，直接求特征函数的k阶倒数在t=0处的取值即可！

  • 线性性 十分有用！
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第14张图片
    熟记 利用性质4
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第15张图片



概念与定义

随机变量（续）

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  • w是样本点 【t固定】
  • t 是一个样本轨迹 ，一次实验【w固定】

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其实觉得这个说法最清晰

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自相关函数和自协方差函数

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自相关函数

取两个trace进行乘积然后求期望

自协方差函数

取两个trace 求中心化后的乘积的期望

二者区别

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随机向量

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随机过程

无穷个随机变量（随机向量的维数趋近于无穷）就组成一个随机过程

分类

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  • 随机向量 --》 有限维分布族
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第23张图片
有限维分布族与特征函数族

  • 一维
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    为什么叫族呢？ 因为 t 是一个参数，不同的 t 会得到不用的分布函数，有一个族

  • n维
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第25张图片

  • 有限维分布函数族
    当n取一个特定值的时候，就是一个有限维，但是n又可以趋近于无穷（实际上这是一个理想的概念）
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第26张图片

  • 性质 ( 多元函数分布 那chapter（下方）讲了更多更有用的性质 )
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第27张图片

联想到特征函数里面，扩充的是0 ，这里扩充的是∞
随机过程笔记(2) 绪论(2)_第28张图片

  • 随即变量可以通过分布函数来刻画，也可以通过特征函数来刻画。那么随机过程也是，我可以通过有限维的分布函数族来刻画，也可以通过有限维的特征函数族来刻画

随机过程笔记(2) 绪论(2)_第29张图片

  • 定理
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第30张图片
    这个定理可以证明：分布函数族、特征函数族和随机过程三者之间的相互唯一确定性



随机过程的数字特征

随机变量有期望、方差、协方差 等数字特征，随机过程也有（就是多个随机变量组成的嘛）
随机过程笔记(2) 绪论(2)_第31张图片

  • 注意，随机变量叫做均值，随机过程就叫做均值函数，因为这里的均值函数是关于时间 t 变化的（随机变量的 t 就是某个speciifc的 t ）【别的以此类推】

方差就是参数 t 取两个相同的值的协方差

随机过程笔记(2) 绪论(2)_第32张图片

  • 其实感觉跟一起接触到的概念一样，只不过以前接触到的两个变量就是X 和Y ，现在换成了X(t)和X(s) 【书写形式上的不一样而已】
多个随机过程的数字特征

随机过程笔记(2) 绪论(2)_第33张图片
在这里插入图片描述



复随机变量

以前我们讨论的随机变量都是实数

复数的方差的求法

如果X是一个复数随机变量的向量（向量中每个元素均为复数的随机变量），那么其方差定义则为E[(X- μ)(X -μ)*]，其中X*是X的共轭转置向量或称为埃尔米特向量。根据这个定义，复数随机变量的方差为实数。

复随机变量的概念

ref @ 百度百科

在这里插入图片描述

复随机变量 的方差、期望、自相关函数

在这里插入图片描述
证明复随机变量的方差 实际上就是和组成自身的两个实随机变量的方差之差（和他们的协方差无关）
随机过程笔记(2) 绪论(2)_第34张图片

  • 复随机变量的自协方差函数是这样的
    随机过程笔记(2) 绪论(2)_第35张图片
    跟实随机变量的协方差很类似，但是看到要乘的是共轭哦！

  • 类似的， 复随机变量的自相关函数是这样的（共轭）

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随机过程笔记(2) 绪论(2)_第37张图片

例题

多元特征函数

定义

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性质

类似一元的特征函数
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随机过程笔记(2) 绪论(2)_第42张图片
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  • 性质5和6可以联想分布函数一起记忆！
    • 分布函数中，别的就是取∞可以用于扩维
    • 分布函数中，如果分布可以拆开也是说明独立【充要】！ —— （分布函数拆开就相当于概率可以拆开[ 可以翻回之前的ppt看！ ] ）
    • 分布函数和特征函数之间的关系这么紧密！因为他们其实是一一对应的[ 琐碎知识点中有提到 ]
      随机过程笔记(2) 绪论(2)_第44张图片

独立与不相关的总结

随机过程笔记(2) 绪论(2)_第45张图片
？？？



n维正态分布

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性质




琐碎

牛顿- 莱布尼茨法则

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密度函数、分布函数、特征函数之间之间的关系

随机过程笔记(2) 绪论(2)_第48张图片
随机过程笔记(2) 绪论(2)_第49张图片
这个定理就可以证明

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