Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（3）—变换的层次

                变换的层次

  由 n×n n × n 可逆实矩阵的群称为(实的)一般线性群或 GL(n) G L ( n ) 。当把相差非零纯靠因子的矩阵都视为等同时，便得到射影线性群，记为 PL(n) P L ( n ) (它是 GL(n) G L ( n ) 的商群) 。在平面射影变换时 , n=3 n = 3 。

1.等距变换

  等距( isometric)变换是平面 IR2 I R 2 的变换，它保持欧氏距离不变,一个等距变换可表示为:

⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎡⎣⎢εcosθεsinθ0−sinθcosθ0txty1⎤⎦⎥⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟ ( x ′ y ′ 1 ) = [ ε c o s θ − s i n θ t x ε s i n θ c o s θ t y 0 0 1 ] ( x y 1 )

  其中 ε=士1 ε = 士 1 。如果 ε=1 ε = 1 那么该等距变换是保向的并且也是欧氏变换(平移和旋转的复合)。如果 ε=−1 ε = − 1 ,那么该等距变换是逆向的。
  平面欧氏变换可以用更简洁的分块形式写为：

x′=HEx=[R0Tt1]x x ′ = H E x = [ R t 0 T 1 ] x

  平面欧氏变换有三个自由度:旋转占一个,平移占两个。

不变量： 长度(两点的距离)，角度(两线的夹角)和面职。

群和定向： 保向的等距变换形成一个群，但逆向的不是。这种区别对于下面的相似和仿射变换同样如此。

2.相似变换

  相似变换是一个等距变换与一个均匀缩放的复合。矩阵表示为:

⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎡⎣⎢scosθssinθ0−ssinθscosθ0txty1⎤⎦⎥⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟ ( x ′ y ′ 1 ) = [ s c o s θ − s s i n θ t x s s i n θ s c o s θ t y 0 0 1 ] ( x y 1 )

  可以用更简洁的分块形式写为：

x′=HSx=[sR0Tt1]x x ′ = H S x = [ s R t 0 T 1 ] x

不变量： 直线的夹角，两长度的比率和面积的比率。

3.仿射变换

  仿射变换是一个非奇异线性变换与一个平移变换的复合，它的矩阵表示为：

⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎡⎣⎢a11a210a12a220txty1⎤⎦⎥⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟ ( x ′ y ′ 1 ) = [ a 11 a 12 t x a 21 a 22 t y 0 0 1 ] ( x y 1 )

  可以用更简洁的分块形式写为：

x′=HAx=[A0Tt1]x x ′ = H A x = [ A t 0 T 1 ] x

  平面仿射变换有六自由度，可以由三组点对应来计算.。

不变量： 平行线，平行线段的长度比和面积比。

4.射影变换

  它是齐次坐标的一般非奇异线性变换，其分块形式：

x′=HPx=[AVTtv]x x ′ = H P x = [ A t V T v ] x

  其中 V=(v1,v2)T V = ( v 1 , v 2 ) T 。

  该变换由八个参数确定，可由四组点对应算出， 但其中属于向一平面的三点必不共线。

不变量:  最基本的射影不变量是四共线点的交比。（交比概念在下一文中会具体介绍）

补充知识：

不变量的数目： 与函数无关的不变量数等于或大于配置的自由度数减去变换的自由度数。