Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（9）—无穷远平面&绝对二次曲线
无穷远平面&绝对二次曲线
###1.无穷远平面
在3维空间的射影几何中，与 l ∞ l_{\infty } l∞和虚圆点对应的几何实体是无穷远平面 π ∞ \pi _{\infty } π∞和绝对二次曲线 Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞。
在3维仿射空间中,无穷远平面的标准位置是 π ∞ = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) T \pi _{\infty }=(0,0,0,1)^T π∞=(0,0,0,1)T， π ∞ \pi _{\infty } π∞包含所有方向 D = ( X 1 ， X 2 ， X 3 ， 0 ) T D=(X_1，X_2，X_3，0)^T D=(X1，X2，X3，0)T并且可以用来识别仿射性质。
- 两张平面相平行的充要条件是它们的交线在 π ∞ \pi _{\infty } π∞上。
- 如果一条直线与另一条直线或一张平面相交在 π ∞ \pi _{\infty } π∞上，则它们相平行。
结论 1 在射影变换$ H 下 ， 无 穷 远 平 面 下，无穷远平面 下，无穷远平面\pi _{\infty } 是 不 动 平 面 的 充 要 条 件 是 是不动平面的充要条件是 是不动平面的充要条件是 H $是一个仿射变换。
- 一般地说，在仿射变换下平面 π ∞ \pi _{\infty } π∞是整个集合不动，而不是点点不动。
- 仅有 π ∞ \pi _{\infty } π∞在任何仿射变换下保持不动。
###2.绝对二次曲线
绝对二次曲线 Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞是在 π ∞ \pi _{\infty } π∞上一条(点)二次曲线。在度量坐标系中 π ∞ = （ 0 , 0 , 0 , 1 ） T \pi _{\infty }=（0,0,0,1）^T π∞=（0,0,0,1）T，而在 Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞上的点满足：
X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 X 4 2 } = 0 \left.\begin{matrix} X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\\ X_{4}^{2} \end{matrix}\right\}=0 X12+X22+X32X42}=0
结论 2 在射影变换$ H 下 ， 绝 对 二 次 曲 线 下， 绝对二次曲线 下，绝对二次曲线\Omega _{\infty } 是 不 动 二 次 曲 线 的 充 要 条 件 是 是不动二次曲线的充要条件是 是不动二次曲线的充要条件是 H $是相似变换。
- Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞在一般相似变换下是集合不动，而不是点点不动的。
- 所有的圆交 Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞ 于两点，这两点是虚圆点。
- 所有球面交 π ∞ \pi _{\infty } π∞于 Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞ 。
度量性质
一旦 Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞在 3 维射影空间被辨认，那么诸如夹角和相对长度等度最性质可以被测定。
设两条直线的方向为 d 1 d_1 d1和 d 2 d_2 d2(3 维矢量)，则：
c o s θ = d 1 T Ω ∞ d 2 ( d 1 T Ω ∞ d 1 ) ( d 2 T Ω ∞ d 2 ) cos\theta =\frac{d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{2}}{\sqrt{(d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{1})(d_{2}^{T}\Omega _{\infty }d_{2})}} cosθ=(d1TΩ∞d1)(d2TΩ∞d2)d1TΩ∞d2
正交与配极
如果 d 1 T Ω ∞ d 2 = 0 d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{2}=0 d1TΩ∞d2=0，则 d 1 d_1 d1和 d 2 d_2 d2相垂直。因而垂直性可由关于 Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞的共轭性来表征。
###3.绝对对偶二次曲面
绝对二次曲线 Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞的对偶是 3 维空间中一种退化的对偶二次曲面，称为绝对对偶二次曲面并记为 Q ∞ ∗ Q _{\infty }^* Q∞∗。从几何上说， Q ∞ ∗ Q _{\infty }^* Q∞∗由 Ω ∞ \Omega _{\infty } Ω∞的切平面组成，它被称为边二次曲面。它在 3 维度量空间的标准形式是：
Q ∞ ∗ = [ I 0 0 T 0 ] Q _{\infty }^*=\begin{bmatrix} I & 0\\ 0^{T}&0 \end{bmatrix} Q∞∗=[I0T00]
绝对对偶二次曲面 Q ∞ ∗ Q _{\infty }^* Q∞∗是退化的二次曲面 ， 有 8 个自由度。
结论 3 在射影变换$ H 下 ， 绝 对 二 次 曲 面 下，绝对二次曲面 下，绝对二次曲面Q _{\infty }^* 不 动 的 充 要 条 件 是 不动的充要条件是 不动的充要条件是 H $是相似变换。
结论 4 无穷远平面 π ∞ \pi _{\infty } π∞是 Q ∞ ∗ Q _{\infty }^* Q∞∗的零矢量。
结论 5 两张平面 π 1 \pi_1 π1和 π 2 \pi_2 π2之间的夹角由下式给出：
c o s θ = π 1 T Q ∞ ∗ π 2 ( π 1 T Q ∞ ∗ π 1 ) ( π 2 T Q ∞ ∗ π 2 ) cos\theta =\frac{\pi_{1}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{2}}{\sqrt{(\pi_{1}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{1})(\pi_{2}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{2})}} cosθ=(π1TQ∞∗π1)(π2TQ∞∗π2)π1TQ∞∗π2