Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（1）—2D 射影平面

               2D 射影平面

直线的齐次表示:
  平面上的一条直线的方程$ax+by+c=0$可以用矢量$(a,b,c{)}^T$表示。要注意的是对任何非零的k矢量$(a,b,c{)}^T$与$k(a,b,c{)}^T$表示同一直线。
点的齐次表示:
  一个点的任何齐次矢量的表示形式为$x=(x_1,x_2,x_3{)}^T$,其非齐次坐标$x=(x_1/x_3,x_2/x_3{)}^T$。

结论1:
  点x在直线l上的充要条件是$x^{T}l=0$。注意有$x^{T}l=l^{T}x=x\bullet 1=0$
结论2:
  两直线 l和 l’的交点是点$x=l\times l^{\prime }$
补充a和b两向量的叉乘：
$$c=a\times b=（a.y\ast b.z-b.y\ast a.z,b.x\ast a.z-a.x\ast b.z,a.x\ast b.y-b.x\ast a.y）$$

结论3:
  过两点x和x’的直线是$l=x\times x^{\prime }$

平行线的交点:
  两平行直线$ax+by+c=0$和$ax+by+c^{\prime }=0$由结论2可得交点$(b,-a,0{)}^T$。
理想点和无穷远线:
  当齐次矢量$x=(x_1,x_2,x_3{)}^T$中$x_3=0$时的点被称为理想点，或无穷远点。所有理想点集合在一条直线上,称无穷远线，用$I_{\infty }=(0,0,1{)}^T$表示。
射影平面的模型:
  $I{P}^2$的点和线分别为中过原点的射线和平面$x_1{x}_2$平面上的射线表示理想点，而$x_1{x}_2$平面表示$I_{\infty }$。
         
$$图1射影平面的模型$$

结论4 （对偶原理）:
  2维射影几何中的任何定理都有一个对应的对偶定理，它可以通过互换原定理中点和线的作用而导出。
二次曲线与对偶二次曲线:
  在欧氏几何中，二次曲线有三种主要类型 : 双曲
线，椭圆和抛物线。
  在非齐欢坐标中，二次曲线的方程是
$$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$$
  通过替代$x→x_1⁄x_3 , y→x_2⁄x_3 $，得到：
$$a{x}_1^2+b{x}_1{x}_2+c{x}_2^2+d{x}_1{x}_3+e{x}_2{x}_3+f{x}_3^2=0$$
  表示成矩阵形式为
$$x^{T}Cx=0$$
  其中：
$$C=\left[\begin{array}{ccc}a& b/2& d/2\\ b/2& c& e/2\\ d/2& e/2& f\end{array}\right]$$

结论5:
  过(非退化)二次曲线$C$上点$x$的切线$l$由$l=Cx$确定。

对偶二次曲线:
  上面定义的二次曲线$C$更确切地应称为点二次曲线，因为它定义的是点的方程。一个由直线的方程定义的二次曲线也由 一个 3x3 矩阵表示，我们把它记为$C^{\ast }$。二次曲线$C$的切线$l$满足$l^T{C}^{\ast }l=0$。 其中 $C ^* $表示$ C $的伴随矩阵。
     
$$图2点二次曲线及其对偶二次曲线$$

退化二次曲线:
  非满秩矩阵$ C $所定义的二次曲线称作退化二次曲线。退化的点二次曲线包含两条线(秩 2) 或一条重线(秩 1) 。