ICG博弈论_巴什博弈（Bash Game）及证明

小白算法很一般，曾经在算法课上被博弈论弄晕了头脑，当时没有时间精力去弄明白，所以现在回来复仇。感谢博客文章https://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6638943

  如果不知道什么是ICG博弈论的，请翻看这篇文章或者自行搜索：博弈论的总结

  如果很懒打开链接的，小白简单总结一下： 两人公平比赛，不许耍赖皮，你一步我一步的回合制，每个回合的走法是有限的，不能继续下一步的当输，一定可以在有限个回合内结束游戏。

  说明：围棋和象棋都不是ICG博弈，因为每一盘棋的走法是无限的，比如围棋，你我约定不围对方，那么最终会平局，没有输赢之分，再比如象棋，你我约定不将军，那么我们可以玩到地球爆炸那一刻。
 

  对于ICG博弈，解决（想赢）的办法是基于SG函数的，也就是ICG博弈有一个SG函数（有时候并不显式需要它），它可以回答游戏的输赢问题，它有三个性质，比较关心的是其中两个：
  1、无论怎样走，必败态都会进入必胜态。【如果必败态下一步可以是必败态，游戏可能会无法结束】
  2、至少有一种方法，可以把必胜态转变为必败态。【如果没有方法，游戏依然可能会无法结束】
  理解完ICG博弈论的铺垫后，可以去玩巴什博弈了。

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巴什博弈（Bash Game）

· 有n个物品放置一堆，两个人轮流从中取物， 规定每次至少取1个，最多取m个，最后取光者得胜。

  乍一看好像是凭运气才能获胜的游戏，而且小白一开始也是一脸茫然，我们可以一步步分析。
  说明：当前局面指的是自己的回合。博弈两人都是智商超凡，不分彼此，每个人的决策都是全局或者局部最优。

  我们的目标是根据当前的局面去判断全局输赢【可能会很惊讶，只凭当前局势居然可以判断全局输赢，但ICG博弈的定义和SG函数确保了这点】，当前局面有且只有两种状态：
  1、当前局面是必败态，那么直接认输【投降输一半】，因为根据SG函数性质，无论你怎么走下一局都留给对手必胜态，而必胜态是有办法转变为必败态的，因此下一次你又是必败态，直到游戏结束。
  2、当前局面是必胜态，那么至少有一种办法能够把必胜态转变为必败态，这样下一局对手就面对着必败态，而必败态下一步是必胜态，于是轮到你的时候又是必胜态，直到游戏结束。

  现在关键在于如何判断当前局面是必胜态还是必败态，我们先找出必败态【古语有云“方法总比困难多”，我们选择困难数量少的路去走】。
  我们用一个数字（x）表示一堆物品中剩下的数量，显然，让你面对的局面是（0）的时候是一种必败态，必败态有多个，那么其余的必败态是怎样的？注意到至少要拿1个，最多拿m个，考虑当前局面是（m+1），就会出现很尴尬的情况：
  ①你不能取完，因为最多取m个。
  ②你至少要拿1个，于是留给对手的局面是（x）而且1 ≤ x ≤ m，对手可以一次拿完，游戏结束。
  所以 （m+1）也是一个必败态。
 

  现在我们可以考虑当前局面是（m+2）、（m+3）、（m+4）…的情况，这些情况应该在m+1的基础上思考，所以分析（m+1+k）的情况。
  1、如果k == 0，当前局面是（m+1）必败态，可以投降了。
  2、如果k > 0，我们又可以分为2种情况
    2.1、如果 0 < k ≤ m，那么可以一次性把 k 拿走，局面（m+1）留给对手，对手进入必败态，我方必赢。
    2.2、如果k > m，那么k可以表示为k = t*(m+1) + r，其中t≥0，0 ≤ r ≤ m【 t=k/(m+1)向下取整，r=k%(m+1) 】，整合一下，（m+1+k）的局面就是（ t*(m+1)+r ），发现了吗？又回到形如（m+1+k）的情况了，因为如果局面是（ t*(m+1) ），其实就是进行了 t 轮的（m+1），是一个和（m+1）等价的必败态。因此对 r 的分析和对 k 的分析是一致的，而且我们已知0 ≤ r ≤ m，如果 r ≠ 0，我们可以一次性取完，留下（ t(m+1) ）必败态给对手。
  到此，我们已经得出必败态的表达方式了。
 

  对于当前局面（x），我们总可以变换为（ t(m+1) + r ），其中t≥0，0 ≤ r ≤ m，如果 r=0，是一个必败态，如果r ≠ 0，是一个必胜态。

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证明

  以上的推导都是简单明了的过程，欠缺一个严肃的数学证明（严肃而有美德的人令人肃然起敬的 —— 培根【不是麻辣烫那个】）

  A、B两人进行巴什博弈，假设A先行：
  命题1：x = t(m+1) + r，其中t ≥ 0，0 ≤ r ≤ m，如果 r = 0，当前局面(x)是一个必败态，A必输。
  命题2：x = t(m+1) + r，其中t ≥ 0，0 ≤ r ≤ m，如果 r ≠ 0，当前局面(x)是一个必胜态，A必赢。
  再次说明：当前局面指的是自己的回合。博弈两人都是智商超凡，不分彼此，每个人的决策都是全局或者局部最优。

  先来证命题1，当r = 0的时候，当前局面x = t(m+1)，根据游戏规则，必须取走 1 ≤ k ≤ m 的物品，于是剩下的(t-1)(m+1) + (m+1-k)，而且1 ≤ (m+1-k) ≤ m，这个局面是留给B的，B一次性把(m+1-k)取走，剩下 (t-1)(m+1)的局面给A，就这样经过t-1轮后，A当前局面是(m+1)，取走k后，剩下1 ≤ (m+1-k) ≤ m，B取走(m+1-k)，物品已经取完，A当前局面是0，A输B赢，因此x是一个必败态，A必输。

  证命题2，当 r ≠ 0的时候，A一次性把 r 取完，剩下t(m+1)局面给B，根据命题1可知，B进入必败态，A赢B输，因此x是一个必胜态，A必赢。

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  巴什博弈有很多变种，可以概括为下图：

此文为巴什博弈，可以看到图中还有威佐夫博弈和尼姆博弈，他们是比巴什博弈更加复杂的ICG博弈，后面会继续写出。
其实关于巴什、威佐夫和尼姆博弈的文章非常非常多，为什么小白还要继续写，目的已经在文章开头说明了，目的不是为了脱颖而出，而是为了探索一个新领域，弄清楚当年的迷惑。（觉得复仇更加接地气）