整数划分问题（递归&递推）

1:问题描述：

整数划分问题是将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+n3+...+nk，其中n1>=n2>=n3>=...nk>=1,这种表示方法称为整数划分。求正整数n的不同划分个数。

例如：6的整数划分如下（共11种）

6

5+1

4+2;4+1+1;

3+3;3+2+1;3+1+1+1;

2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1

问题分析：

为正整数n划分数，为了容易找到递归关系，考虑增加一个自变量，其中n为给定的正整数，m为划分中的最大加数，划分个数记为f(n,m)这样就可以找出如下递归关系：

一：最大加数m<=1的时候，这时候任何正整数都只有一种划分方法，即：n=1+1+1+...1;

二：最大加数m>n的时候（实际上m不能大于n）这个时候 f(n,m)=f(n,n);

三：最大加数m=n的时候，这时，分为两种情况：

1：包括n,这时正整数与最大加数一样，划分方法只有一种,{n}；

2：若不包括n ，这个时候最大加数为n-1，所以划分方法为 :f(n,n-1);

所以，当m=n时，f(n,m)=f(n,n-1)+1;

四：最大加数m

1：包括m ,这个时候最大加数就是m,划分方法为:f(n-m,m);

2：不包括m ，这个时候最大加数就是m-1,划分方法为:f(n,m-1);

所以，当m

编码如下

递归：

#include
using namespace std;
int f(int n, int m)
{
    if(m<1||n<1) {
        return 0;
    }
    else if (m>n){
        return f(n,n);
    }
    else if(m==n){
        return (f(n,m-1)+1);
    }
    else{
        return (f(n-m,m)+f(n,m-1));
    }
}


int main()
{
     int n;
     cin>>n;
     cout<     return 0;
}

递推：

#include
using namespace std;
int main()
{
    int i,j,m,n;
    int f[100][100];
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=m;i++){
        f[0][i]=1;
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        f[i][0]=0;
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=m;j++){
            if(i                 f[i][j]=f[i][i];
            }else if(i==j){
                f[i][j]=(f[i][j-1]+1);
            }
            else{
                f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-j][j]);
            }
        }
    }
    cout< }