【第五周】关于空间插值方法的学习-克里金之普通克里金算法

***Kriging法（克里金法，克立格法）***:根据样品空间位置不同、样品间相关程度的不同，对每个样品品位赋予不同的权，进行滑动加权平均，以估计中心块段平均品位。 该方法属于空间插值方法中地质统计学方法的一种。

2.2 克里金插值法

    克里金方法是建立在地质介质随机模型基础之上（即变差函数基础上）的确定性求解。如果需要给出唯一解，并使它在空间每一个点上的计算值与未知的客观实际值之间偏差最小，就应该选择使用克里金方法。

2.2.1 以普通克里金方法为例介绍克里金插值法

    设$x_1,...,x_n$为区域上的一系列观测点，$z(x_1),...,z(x_n)$为相应的观测值。区域化变量在$x$处的值$z^{\ast }(x)$可采用一个线性组合来估计：
$$z^{\ast }(x)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}z(x_i)$$
    其中${\lambda }_i$需满足无偏条件和估计方差最小两个条件。$z^{\ast }(x)$为点$x$处的预测值，$n$为实际测量值数量，$z(x_i)$为第$i$个位置处的实际测量值，${\lambda }_i$为第$i$个位置处实际测量值的位置权重。
（1）无偏性条件
    无偏性条件是指真实值与估计值偏差的数学期望为零。普通克里金方程是在满足本征条件假设下建立的，即区域化变量$z(x)$的数学期望为一个未知的常数，即有：
$$E[z(x)]=m$$
要保证$z^{\ast }(x)$是$z(x)$的无偏估计，即：
$$E[z^{\ast }(x)-z(x)]=0$$
在已知$E[z(x)]=m$的情况下，上式可化为:

    从而可得到${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=1$，该式即为普通克里金的无偏性条件。
（2）估计方差最小（最优性条件）
    最优性条件是在满足无偏性条件的前提下，估计方差最小，即有：
$$Var[z(x)-z^{\ast }(x)]=min$$
    可化为：
${\sigma }_k^2=E[{\left\{(z^{\ast }(x)-z(x))-E(z^{\ast }(x)-z(x))\right\}}^2]=E[(z^{\ast }(x)-z(x){)}^2]=min$
    进一步应用拉格朗日乘数法求条件极值：

    克里金插值法相较于其他确定性插值法来说，不仅考虑采样点之间的距离，还会考虑预测点的位置以及预测点周围采样点的空间关系，因此计算的权重系数更为合理，预测更为精确。所以，克里金插值法是非常适合井下工作面煤质预测工作的。

参考克里金学习资料

[1]克里金插值法及其插值步骤
[2]空间插值方法-克里金法PPT下载