母函数推导斐波那契数列通项公式

f(i)=f(i−1)+f(i−2)
f(0)=0,f(1)=1

F(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x2+f(3)x3+...
F(x)=∑i=0∞f(i)xi

F(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x2+...
xF(x)=f(0)x+f(1)x2+...
x2F(x)=f(0)x2+...

F(x)=xF(x)+x2F(x)+x
解得：
F(x)=x1−x−x2=−x−1+x+x2=−x(x−λ1)(x−λ2)(λ1和λ2是原方程的两个根)=Ax−λ1+Bx−λ2
通分 F(x)=A(x−λ2)+B(x−λ1)(x−λ1)(x−λ2)
所以 Ax−Aλ2+Bx−Bλ1=−x
对系数列方程：
A+B=−1
−Aλ2−Bλ1=0
这样可以解出A,B
F(x)=Ax−λ1+Bx−λ2=−Aλ1−x+−Bλ2−x=−Aλ1(1−xλ1)+−Bλ2(1−xλ2)=−Aλ111−xλ1+−Bλ211−xλ2
因为∑i=0∞xi=11−x
所以令x=xλ1和xλ2
有F(x)=−Aλ1(1+xλ1+(xλ1)2+...)+−Bλ2(1+xλ2+(xλ2)2+...)
又F(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x2+...
所以系数对应：
f(i)=(−A)(1λ1)i+(−B)(1λ2)i