考研数学之高等数学知识点整理——9.定积分
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文章目录
- 九、定积分
- 1 定积分的定义
- 2 定积分的性质
- 3 重要定理、公式、关系
- 4 换元积分公式与分部积分公式
- 5 广义积分的概念及计算
- 5.1 无穷限的广义积分
- 5.2 无界函数的广义积分
- 5.3 $\Gamma$函数
- 6 定积分的几何应用
- 6.1 平面图形的面积
- 6.2 平面曲线的弧长
- 6.3 旋转体的体积
- 6.4 旋转体的侧面积
- 6.5 平行截面面积已知的立体体积
九、定积分
1 定积分的定义
∫ a b f ( x ) d x = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{λ→0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(ξ_i)Δx_i ∫abf(x)dx=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi
特别当f(x)在[a,b]上可积时有
∫ a b f ( x ) d x = lim n → ∞ b − a n ∑ i = 1 n f [ a + i n ( b − a ) ] \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n→∞}\frac{b-a}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}f[a+\frac{i}{n}(b-a)] ∫abf(x)dx=n→∞limnb−ai=1∑nf[a+ni(b−a)]
-
定理 1
设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
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定理 2
设f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
2 定积分的性质
设f(x)，g(x)在区间[a,b]上可积，则
① ∫ a b k f ( x ) d x = k ∫ a b f ( x ) d x \int_a^b kf(x)\mathrm{d}x=k\int_a^bf(x)\mathrm{d}x ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx
② ∫ a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b[f(x)±g(x)]\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x±\int_a^b g(x)\mathrm{d}x ∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx
③ ∫ a b d x = b − a \int_a^b \mathrm{d}x=b-a ∫abdx=b−a
④ 若f(x)在最大的区间上可积，则
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
⑤ 若在区间[a,b]上f(x)≤g(x)，则
∫ a b f ( x ) d x ⩽ ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b f(x)\mathrm{d}x\leqslant\int_a^b g(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx⩽∫abg(x)dx
⑥ ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ⩽ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ， ( a < b ) |\int_a^b f(x)\mathrm{d}x|\leqslant\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x，(a<b) ∣∫abf(x)dx∣⩽∫ab∣f(x)∣dx，(a<b)
⑦ 如果f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M、m，则
m ( b − a ) ⩽ ∫ a b f ( x ) d x ⩽ M ( b − a ) m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leqslant M(b-a) m(b−a)⩽∫abf(x)dx⩽M(b−a)，(估值定理)
3 重要定理、公式、关系
① 牛顿——莱布尼茨公式
如果f(x)连续，且 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C ∫f(x)dx=F(x)+C，则有 ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − f ( a ) \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-f(a) ∫abf(x)dx=F(b)−f(a)成立。
② 定积分中值定理
如果f(x)在[a,b]连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=f(ξ)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)成立。
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x b−a1∫abf(x)dx称为函数y=f(x)在区间[a,b]上的平均值。
③ 变上限定积分及其导数
如果f(x)连续，则 ∫ a x f ( t ) d t ， ( a ⩽ x ⩽ b ) \int_a^x f(t)\mathrm{d}t，(a\leqslant x\leqslant b) ∫axf(t)dt，(a⩽x⩽b)是上限x的可导函数，且有 d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\mathrm{d}t=f(x) dxd∫axf(t)dt=f(x)；若φ(x)，ψ(x)可导，则
d d x [ ∫ ψ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t ] = f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) − f ( ψ ( x ) ) ψ ′ ( x ) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\int_{ψ(x)}^{φ(x)}f(t)\mathrm{d}t]=f(φ(x))φ'(x)-f(ψ(x))ψ'(x) dxd[∫ψ(x)φ(x)f(t)dt]=f(φ(x))φ′(x)−f(ψ(x))ψ′(x)
④ 设f(x)在[-a,a]上连续，则
∫ − a a f ( x ) d x = ∫ 0 a [ f ( x ) + f ( − x ) ] d x = { 0 ， f ( x ) 为 奇 函 数 2 ∫ 0 a f ( x ) d x ， f ( x ) 为 偶 函 数 \int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x=\int_0^a[f(x)+f(-x)]\mathrm{d}x=\begin{cases} & 0，f(x)为奇函数 \\ & 2\int_0^a f(x)\mathrm{d}x，f(x)为偶函数 \end{cases} ∫−aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(−x)]dx={0，f(x)为奇函数2∫0af(x)dx，f(x)为偶函数
⑤ 若f(x)在[0,1]上连续，则
∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x \int_0^{\frac{π}{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{π}{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x ∫02πf(sinx)dx=∫02πf(cosx)dx
∫ 0 π x f ( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x \int_0^π xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{π}{2}\int_0^π f(\sin x)\mathrm{d}x ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx
⑥ 设f(x)是以T为周期的连续函数，则 ∫ a a + T f ( x ) d x = ∫ 0 T f ( x ) d x \int_{a}^{a+T}f(x)\mathrm{d}x=\int_0^Tf(x)\mathrm{d}x ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx， ∫ a a + n T f ( x ) d x = n ∫ 0 T f ( x ) d x \int_a^{a+nT}f(x)\mathrm{d}x=n\int_0^T f(x)\mathrm{d}x ∫aa+nTf(x)dx=n∫0Tf(x)dx
⑦ I n = ∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 cos n x d x = n − 1 n I n − 2 = { n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 ⋅ π 2 ， n为正偶数 n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ 4 5 ⋅ 2 3 ， n为大于1的奇数 I_n=\int_0^{\frac{π}{2}}\sin^nx\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{π}{2}}\cos^nx\mathrm{d}x=\frac{n-1}{n}I_{n-2}=\begin{cases} & \frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}···\frac{1}{2}·\frac{π}{2}， \text{n为正偶数} \\ & \frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}···\frac{4}{5}·\frac{2}{3}， \text{n为大于1的奇数} \end{cases} In=∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=nn−1In−2={nn−1⋅n−2n−3⋅⋅⋅21⋅2π，n为正偶数nn−1⋅n−2n−3⋅⋅⋅54⋅32，n为大于1的奇数
4 换元积分公式与分部积分公式
① 设f(x)在[a,b]上连续，x=φ(t)单调可导，φ’(t)≠0，则
∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_α^β f[φ(t)]φ'(t)\mathrm{d}t ∫abf(x)dx=∫αβf[φ(t)]φ′(t)dt
其中α=φ-1(a)，β=φ-1(b)，φ-1(t)为φ(t)的反函数。
② 设u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，则
∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] ∣ a b − ∫ a b v ( x ) u ′ ( x ) d x \int_a^b u(x)v'(x)\mathrm{d}x=[u(x)v(x)]|_a^b-\int_a^bv(x)u'(x)\mathrm{d}x ∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]∣ab−∫abv(x)u′(x)dx
5 广义积分的概念及计算
5.1 无穷限的广义积分
设f(x)在[a,+∞)上连续，且 lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x \lim\limits_{b→+∞}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x b→+∞lim∫abf(x)dx存在，则广义积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+∞}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx收敛，且 ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x \int_a^{+∞}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{b→+∞}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx=b→+∞lim∫abf(x)dx
设f(x)在(-∞,b]上连续，且 lim a → − ∞ ∫ a b f ( x ) d x \lim\limits_{a→-∞}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x a→−∞lim∫abf(x)dx存在，则广义积分 ∫ − ∞ b f ( x ) d x \int_{-∞}^bf(x)\mathrm{d}x ∫−∞bf(x)dx收敛，且 ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim a → − ∞ ∫ a b f ( x ) d x \int_{-∞}^bf(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{a→-∞}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x ∫−∞bf(x)dx=a→−∞lim∫abf(x)dx
设f(x)在(-∞,+∞)上连续，且 ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x \int_{-∞}^0f(x)\mathrm{d}x ∫−∞0f(x)dx与 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_0^{+∞}f(x)\mathrm{d}x ∫0+∞f(x)dx收敛，则广义积分 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-∞}^{+∞}f(x)\mathrm{d}x ∫−∞+∞f(x)dx收敛，且 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_{-∞}^{+∞}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-∞}^0f(x)\mathrm{d}x+\int_0^{+∞}f(x)\mathrm{d}x ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx
5.2 无界函数的广义积分
设f(x)在(a,b]上连续，且在a的右邻域内无界， lim ε → 0 + ∫ a + ε b f ( x ) d x \lim\limits_{ε→0^+}\int_{a+ε}^bf(x)\mathrm{d}x ε→0+lim∫a+εbf(x)dx存在，则广义积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx收敛，且 ∫ a b f ( x ) d x = lim ε → 0 + ∫ a + ε b f ( x ) d x \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{ε→0^+}\int_{a+ε}^bf(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx=ε→0+lim∫a+εbf(x)dx
设f(x)在[a,b)上连续，且在b的左邻域内无界， lim ε → 0 + ∫ a b − ε f ( x ) d x \lim\limits_{ε→0^+}\int_a^{b-ε}f(x)\mathrm{d}x ε→0+lim∫ab−εf(x)dx存在，则广义积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx收敛，且 ∫ a b f ( x ) d x = lim ε → 0 + ∫ a b − ε f ( x ) d x \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{ε→0^+}\int_a^{b-ε}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx=ε→0+lim∫ab−εf(x)dx
设f(x)在[a,b]上除点c∈(a,b)外连续，而在c的邻域内无界，且广义积分 ∫ a c f ( x ) d x \int_a^cf(x)\mathrm{d}x ∫acf(x)dx和 ∫ c b f ( x ) d x \int_c^bf(x)\mathrm{d}x ∫cbf(x)dx收敛，则广义积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx收敛，且 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
5.3 Γ \Gamma Γ函数
Γ ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − x x s − 1 d x ， ( s > 0 ) \Gamma(s)=\int_0^{+∞}e^{-x}x^{s-1}\mathrm{d}x，(s>0) Γ(s)=∫0+∞e−xxs−1dx，(s>0)
lim s → 0 + Γ ( s ) = + ∞ \lim\limits_{s→0^+}\Gamma(s)=+∞ s→0+limΓ(s)=+∞
Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s ) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) Γ(s+1)=sΓ(s)
Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1)=1 Γ(1)=1
Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 + ∞ e − x x − 1 2 d x = π \Gamma(\frac{1}{2})=\int_0^{+∞}e^{-x}x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x=\sqrt\pi Γ(21)=∫0+∞e−xx−21dx=π
Γ ( n + 1 ) = n ! ( n 为 正 整 数 ) \Gamma(n+1)=n!(n为正整数) Γ(n+1)=n!(n为正整数)
6 定积分的几何应用
6.1 平面图形的面积
① 设平面图形D由曲线y=f(x)，y=g(x)及直线x=a，x=b所围成，则平面图形D的面积 S = ∫ a b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ d x S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x S=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx
② 设平面图形D的边界为曲线r=r(θ)及射线θ=α，θ=β(α<β)，则平面图形D的面积 S = 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ S=\frac{1}{2}\int_α^βr^2(θ)\mathrm{d}θ S=21∫αβr2(θ)dθ
③ 设平面图形D的边界为曲线 { x = x ( t ) y = y ( t ) ， ( α ⩽ t ⩽ β ) \begin{cases} & x=x(t) \\ & y=y(t) \end{cases}，(α\leqslant t\leqslant β) {x=x(t)y=y(t)，(α⩽t⩽β)，其中x(t)，y(t)连续可导，y(t)≥0，x(t)严格单调，则平面图形D的面积 S = ∫ α β x ( t ) y ′ ( t ) d t S=\int_α^β x(t)y'(t)\mathrm{d}t S=∫αβx(t)y′(t)dt，当x(t)≥0，y(t)严格单调时， ∫ α β x ( t ) y ′ ( t ) d t \int_α^βx(t)y'(t)\mathrm{d}t ∫αβx(t)y′(t)dt。
6.2 平面曲线的弧长
① 曲线由参数方程 { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) ， ( α ⩽ t ⩽ β ) \begin{cases} & x=φ(t) \\ & y=ψ(t) \end{cases}，(α\leqslant t\leqslant β) {x=φ(t)y=ψ(t)，(α⩽t⩽β)给出，弧长公式为 S = ∫ α β φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t S=\int_α^β\sqrt{φ'^2(t)+ψ'^2(t)}\mathrm{d}t S=∫αβφ′2(t)+ψ′2(t)dt
② 曲线由直角坐标方程 y = f ( x ) ， ( a ⩽ x ⩽ b ) y=f(x)，(a\leqslant x\leqslant b) y=f(x)，(a⩽x⩽b)给出，弧长公式为 S = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x S=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\mathrm{d}x S=∫ab1+y′2dx
③ 曲线由极坐标方程 ρ = ρ ( θ ) ， ( α ⩽ θ ⩽ β ) ρ=ρ(θ)，(α\leqslant θ\leqslant β) ρ=ρ(θ)，(α⩽θ⩽β)给出，弧长公式为 S = ∫ α β ρ 2 ( θ ) + ρ ′ 2 ( θ ) d θ S=\int_α^β\sqrt{ρ^2(θ)+ρ'^2(θ)}\mathrm{d}θ S=∫αβρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ
6.3 旋转体的体积
① 曲边梯形0≤y≤f(x)，(a≤x≤b)绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积 V x = π ∫ a b [ f ( x ) ] 2 d x V_x=\pi\int_a^b[f(x)]^2\mathrm{d}x Vx=π∫ab[f(x)]2dx；当a≥0时，该曲边梯形绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积 V y = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x V_y=2\pi\int_a^bxf(x)\mathrm{d}x Vy=2π∫abxf(x)dx
② 曲线r=r(θ)，(1≤α≤θ≤β≤π)所围成平面图形绕极轴旋转一周所生成的旋转体的体积 V = 2 3 π ∫ α β r 3 ( θ ) s i n θ d θ V=\frac{2}{3}\pi\int_α^βr^3(θ)sinθ\mathrm{d}θ V=32π∫αβr3(θ)sinθdθ
6.4 旋转体的侧面积
① 由y=f(x)(f(x)≥0)，x=a，x=b，(a
② 若围成曲边梯形的曲线由参数方程x=x(t)，y=y(t)，t∈[α,β]给出，且y(t)≥0，那么旋转体的侧面积为 S = 2 π ∫ α β y ( t ) x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) d t S=2\pi\int_α^βy(t)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\mathrm{d}t S=2π∫αβy(t)x′2(t)+y′2(t)dt
6.5 平行截面面积已知的立体体积
平面x=a，y=b之间的立体，若过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x)，则该立体的体积为 V = ∫ a b A ( x ) d x V=\int_a^bA(x)\mathrm{d}x V=∫abA(x)dx