考研数学二：函数、极限与连续知识架构与易错点全解析

一、函数模块易错点与考题预测

易错点1：忽略函数定义域的隐含条件

例题：设函数 ( f(x) = \sqrt{\ln(1-x)} + \frac{1}{\sqrt{x+2}} )，求定义域。
解析：需同时满足：
$$\begin{array}{rl}1.& 1-x>0\Rightarrow x<1\\ 2.& \ln (1-x)\ge 0\Rightarrow 1-x\ge 1\Rightarrow x\le 0\\ 3.& x+2>0\Rightarrow x>-2\end{array}$$
正解：定义域为 ( (-2, 0] )。

---

易错点2：奇偶性判断中的符号错误

例题：判断 ( f(x) = \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) ) 的奇偶性。
解析：
$$f(-x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\ln \left({\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^{-1}\right)=-\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=-f(x)$$
结论：奇函数。

---

二、极限模块易错点与考题预测

易错点3：等价无穷小替换错误

例题（2011年真题）：当 ( x \to 0 ) 时，( 3\sin x - \sin3x ) 与 ( c x^k ) 等价，求 ( c, k )。
解析：
$$\begin{array}{rl}3\sin x-\sin 3x& \approx 3\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-\left(3x-\frac{(3x{)}^3}{6}\right)\\ & =3x-\frac{x^3}{2}-3x+\frac{27x^3}{6}\\ & =4x^3\end{array}$$
答案：( k=3, c=4 )。

---

易错点4：泰勒展开精度不足

例题：求 ( \lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x(1+x)}{x^3} )。
解析：
$$\begin{array}{rl}{e}^x\sin x& =\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)\\ & =x+x^2+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\end{array}$$
代入得：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(x+x^2+\frac{x^3}{3}\right)-x(1+x)}{x^3}=\frac{1}{3}$$

---

三、连续模块易错点与考题预测

易错点5：间断点分类混淆

例题（2005年真题）：分析 ( f(x) = \frac{e^{1/x}}{1+e{1/x}} ) 的间断点类型。
解析：
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}=1,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}=0$$
结论：( x=0 ) 为跳跃间断点。

---

易错点6：连续性与参数求解

例题：设 ( f(x) = \begin{cases}
\frac{\ln(1+ax)}{x} & x \neq 0 \
b & x=0
\end{cases} ) 在 ( x=0 ) 处连续，求 ( a, b )。
解析：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+ax)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax-\frac{(ax{)}^2}{2}+o(x^2)}{x}=a$$
结论：( b = a )。

---

四、预测考题与解析

预测题1（极限存在性）

题目：证明数列 ( x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} ) 收敛，并求极限。
解析：
$$x_n=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1$$

---

预测题2（连续性综合）

题目：设 ( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sqrt{1+ax} - \sqrt{1+bx}}{x} & x \neq 0 \
c & x=0
\end{cases} ) 在 ( x=0 ) 处连续，求 ( a, b, c )。
解析：
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+ax}-\sqrt{1+bx}}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+\frac{ax}{2}-\frac{a^2{x}^2}{8})-(1+\frac{bx}{2}-\frac{b^2{x}^2}{8})}{x}\\ & =\frac{a-b}{2}\end{array}$$
结论：( c = \frac{a - b}{2} )。