考研数学之线性代数知识点整理——3.向量
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文章目录
- 三、向量
- 1 向量的定义和运算
- 1.1 定义
- 1.2 运算
- 2 线性组合与线性表示
- 2.1 线性组合
- 2.2 线性表示
- 2.3 向量组的等价
- 3 线性相关与线性无关
- 3.1 定义
- 3.2 性质
- 4 向量组的秩
- 4.1 向量组的极大线性无关组
- 4.2 向量组的秩
- 5 向量空间
- 5.1 向量空间
- 5.1.1 定义1
- 5.1.2 定义2
- 5.1.3 定义3
- 5.2 向量的内积与正交化
- 5.2.1 定义1
- 5.2.2 内积的性质
- 5.2.3 定义2
- 5.2.4 定义3
- 5.2.5 定理
- 5.2.6 施密特正交化法
三、向量
1 向量的定义和运算
1.1 定义
n个数 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_1,a_2,···,a_n a1,a2,⋅⋅⋅,an构成的有序数组称为n维向量。
[ a 1 a 2 ⋮ a n ] \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡a1a2⋮an⎦⎥⎥⎥⎤或 [ a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ] T \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ··· & a_n \end{bmatrix}^T [a1a2⋅⋅⋅an]T称为列向量。
[ a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ] \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ··· & a_n \end{bmatrix} [a1a2⋅⋅⋅an]称为行向量。
a i a_i ai称为向量的第i个分量(i=1,2,···,n)
如果向量的所有分量都是零，就称其为零向量，记作 [ 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 ] T \begin{bmatrix} 0 & 0 & ··· & 0 \end{bmatrix}^T [00⋅⋅⋅0]T
1.2 运算
设α= [ a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ] T \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ··· & a_n \end{bmatrix}^T [a1a2⋅⋅⋅an]T，β= [ b 1 b 2 ⋅ ⋅ ⋅ b n ] T \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & ··· & b_n \end{bmatrix}^T [b1b2⋅⋅⋅bn]T
- α + β = [ a 1 + b 1 a 2 + b 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n + b n ] T α+β=\begin{bmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 & ··· & a_n+b_n \end{bmatrix}^T α+β=[a1+b1a2+b2⋅⋅⋅an+bn]T
- k α = [ k a 1 k a 2 ⋅ ⋅ ⋅ k a n ] T kα=\begin{bmatrix} ka_1 & ka_2 & ··· & ka_n \end{bmatrix}^T kα=[ka1ka2⋅⋅⋅kan]T
- α + β = β + α α+β=β+α α+β=β+α
- ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) = α + β + γ (α+β)+γ=α+(β+γ)=α+β+γ (α+β)+γ=α+(β+γ)=α+β+γ
- α + 0 = α α+0=α α+0=α
- α + ( − α ) = 0 α+(-α)=0 α+(−α)=0
- k ( l α ) = ( k l ) α k(lα)=(kl)α k(lα)=(kl)α
- k ( α + β ) = k α + k β k(α+β)=kα+kβ k(α+β)=kα+kβ
- ( k + l ) α = k α + l α (k+l)α=kα+lα (k+l)α=kα+lα
2 线性组合与线性表示
2.1 线性组合
给定向量组A： α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α m α_1,α_2,···,α_m α1,α2,⋅⋅⋅,αm，对于任意一组实数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k m k_1,k_2,···,k_m k1,k2,⋅⋅⋅,km，表达式 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k m α m k_1α_1+k_2α_2+···+k_mα_m k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm为向量组A的一个线性组合， k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k m k_1,k_2,···,k_m k1,k2,⋅⋅⋅,km称为这个线性组合的系数。
2.2 线性表示
给定向量组A： α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α m α_1,α_2,···,α_m α1,α2,⋅⋅⋅,αm和向量β，若存在一组数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k m k_1,k_2,···,k_m k1,k2,⋅⋅⋅,km，使 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k m α m β=k_1α_1+k_2α_2+···+k_mα_m β=k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm，则称向量β是向量组A的线性组合，又称向量β能由向量组A线性表示。若向量组B中任一向量均可由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示。若向量组B能由向量组A线性表示，则 r B ⩽ r A r_B \leqslant r_A rB⩽rA。
2.3 向量组的等价
若向量组A与向量组B能相互线性表示，称两向量组等价。向量组A与向量组B等价⟺ r ( A ) = r ( B ) = r ( A , B ) r(A)=r(B)=r(A,B) r(A)=r(B)=r(A,B)，其中A,B是向量组A,B所构成的矩阵。
注：
- β能由向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α m α_1,α_2,···,α_m α1,α2,⋅⋅⋅,αm唯一线性表示的充要条件是线性方程组 α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + α m x m = β α_1x_1+α_2x_2+···+α_mx_m=β α1x1+α2x2+⋅⋅⋅+αmxm=β有唯一解；
- β能由向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α m α_1,α_2,···,α_m α1,α2,⋅⋅⋅,αm线性表示但表示不唯一的充要条件是线性方程组 α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + α m x m = β α_1x_1+α_2x_2+···+α_mx_m=β α1x1+α2x2+⋅⋅⋅+αmxm=β有无穷解；
- β不能由向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α m α_1,α_2,···,α_m α1,α2,⋅⋅⋅,αm线性表示的充要条件是线性方程组 α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + α m x m = β α_1x_1+α_2x_2+···+α_mx_m=β α1x1+α2x2+⋅⋅⋅+αmxm=β无解。
3 线性相关与线性无关
3.1 定义
给定向量组A： α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α m α_1,α_2,···,α_m α1,α2,⋅⋅⋅,αm，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k m k_1,k_2,···,k_m k1,k2,⋅⋅⋅,km，使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k m α m = 0 k_1α_1+k_2α_2+···+k_mα_m=0 k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0，则称向量组A线性相关；否则称线性无关，即当且仅当 k 1 = k 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = k m = 0 k_1=k_2=···=k_m=0 k1=k2=⋅⋅⋅=km=0时上式才成立。
3.2 性质
- 向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n ( n ⩾ 2 ) α_1,α_2,···,α_n(n\geqslant 2) α1,α2,⋅⋅⋅,αn(n⩾2)线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表示。
- 设 α j = ( α 1 j , α 2 j , ⋅ ⋅ ⋅ , α n j ) T ( j = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ) α_j=(α_{1j},α_{2j},···,α_{nj})^T(j=1,2,···,n) αj=(α1j,α2j,⋅⋅⋅,αnj)T(j=1,2,⋅⋅⋅,n)，则向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n α_1,α_2,···,α_n α1,α2,⋅⋅⋅,αn线性相关的充要条件是：矩阵 A = ( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n ) A=(α_1,α_2,···,α_n) A=(α1,α2,⋅⋅⋅,αn)的秩小于向量的个数n。
- n个n维列向量 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n α_1,α_2,···,α_n α1,α2,⋅⋅⋅,αn线性无关(或线性相关)⟺矩阵 A = ( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n ) A=(α_1,α_2,···,α_n) A=(α1,α2,⋅⋅⋅,αn)的秩等于(小于)向量的个数n⟺ ∣ A ∣ ≠ 0 ( ∣ A ∣ = 0 ) |A|≠0(|A|=0) ∣A∤=0(∣A∣=0)。
- 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关。
- 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关。
- 线性无关的向量组中的任一部分组皆线性无关。
- 若向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n , β α_1,α_2,···,α_n,β α1,α2,⋅⋅⋅,αn,β线性相关，而向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n α_1,α_2,···,α_n α1,α2,⋅⋅⋅,αn线性无关，则向量β可由 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n α_1,α_2,···,α_n α1,α2,⋅⋅⋅,αn线性表示且表示法唯一。
4 向量组的秩
4.1 向量组的极大线性无关组
α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr是向量组T的部分向量组，如果它满足
- α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr线性无关；
- ∀α∈T，总有 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r , α α_1,α_2,···,α_r,α α1,α2,⋅⋅⋅,αr,α线性相关；
则称向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
4.2 向量组的秩
向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
5 向量空间
5.1 向量空间
5.1.1 定义1
设V为n维向量的集合，若集合V非空，且集合V对于n维向量的加法及数乘两种运算封闭，即
- 若α∈V，β∈V，则α+β∈V；
- 若α∈V，λ∈R，则λα∈V；
则称集合V为R上的向量空间。
记 R n R^n Rn为n维向量空间。
注：
- n=3时，三维向量空间 R 3 R^3 R3表示实体空间；
- n=2时，二维向量空间 R 2 R^2 R2表示平面；
- n=1时，一维向量空间 R 1 R^1 R1表示数轴。
5.1.2 定义2
设V是向量空间，若有r个向量 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r ∈ V α_1,α_2,···,α_r∈V α1,α2,⋅⋅⋅,αr∈V，且满足
- α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr线性无关；
V中任一向量都可由 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr线性表示。
则称 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr为向量空间V的一个基，数r称为V的维数，记为dimV=r，并称V为r维向量空间。
注：
- 只含零向量的向量空间称为0维向量空间，它没有基；
- 若把向量空间V看作向量组，则V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩；
- 若 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr是V的一个基，则V可表示为 V = { x ∣ x = λ 1 α 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ r α r , λ 1 , λ 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , λ r ∈ R } V=\{x|x=λ_1α_1+···+λ_rα_r,λ_1,λ_2,···,λ_r∈R\} V={x∣x=λ1α1+⋅⋅⋅+λrαr,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λr∈R}。此时，V又称为由基 α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,···,α_r α1,⋅⋅⋅,αr所生成的向量空间。
5.1.3 定义3
如果向量空间V中取定一个基 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr，那么V中任一向量x可唯一地表示为 x = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ r α r x=λ_1α_1+λ_2α_2+···+λ_rα_r x=λ1α1+λ2α2+⋅⋅⋅+λrαr，数组 λ 1 , λ 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , λ r λ_1,λ_2,···,λ_r λ1,λ2,⋅⋅⋅,λr称为向量x在基 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr下的坐标。
5.2 向量的内积与正交化
5.2.1 定义1
n维向量空间 R n R^n Rn中任两个向量 α = ( a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ) T α=(a_1,a_2,···,a_n)^T α=(a1,a2,⋅⋅⋅,an)T， β = ( b 1 , b 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , b n ) T β=(b_1,b_2,···,b_n)^T β=(b1,b2,⋅⋅⋅,bn)T的内积定义为 ( α , β ) = α T β = β T α = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n b n (α,β)=α^Tβ=β^Tα=a_1b_1+a_2b_2+···+a_nb_n (α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn，并称定义了内积的向量空间 R n R^n Rn为欧式空间。
5.2.2 内积的性质
- ( α , β ) = ( β , α ) (α,β)=(β,α) (α,β)=(β,α)
- ( k α , β ) = k ( α , β ) = ( α , k β ) (kα,β)=k(α,β)=(α,kβ) (kα,β)=k(α,β)=(α,kβ)，k为常数
- ( α + β , γ ) = ( α , γ ) + ( β , γ ) (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ) (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)或 ( α , β + γ ) = ( α , β ) + ( α , γ ) (α,β+γ)=(α,β)+(α,γ) (α,β+γ)=(α,β)+(α,γ)
- ( α , α ) ⩾ 0 (α,α)\geqslant 0 (α,α)⩾0，且 ( α , α ) = 0 (α,α)=0 (α,α)=0当且仅当 α = 0 α=0 α=0
5.2.3 定义2
设 α = ( a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ) T α=(a_1,a_2,···,a_n)^T α=(a1,a2,⋅⋅⋅,an)T， ∣ α ∣ = ( α , α ) = a 1 2 + a 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 2 |α|=\sqrt{(α,α)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+···+a_n^2} ∣α∣=(α,α)=a12+a22+⋅⋅⋅+an2，称为向量α的长度。
长度为1的向量称为单位向量。
5.2.4 定义3
若 ( α , β ) = 0 (α,β)=0 (α,β)=0，称α与β正交，记 α ⊥ β α⊥β α⊥β。
5.2.5 定理
设 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr为正交向量组，则 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr是线性无关的。
5.2.6 施密特正交化法
设 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组 ε 1 , ε 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , ε r ε_1,ε_2,···,ε_r ε1,ε2,⋅⋅⋅,εr，使其与 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,α_2,···,α_r α1,α2,⋅⋅⋅,αr等价，其作法分两步：
-
1.正交化
β 1 = α 1 β_1=α_1 β1=α1
β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β_2=α_2-\frac{(α_2,β_1)}{(β_1,β_1)}β_1 β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1
β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 β_3=α_3-\frac{(α_3,β_1)}{(β_1,β_1)}β_1-\frac{(α_3,β_2)}{(β_2,β_2)}β_2 β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2
⋮ \vdots ⋮
β r = α r − ( α r , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α r , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − ( α r , β r − 1 ) ( β r − 1 , β r − 1 ) β r − 1 β_r=α_r-\frac{(α_r,β_1)}{(β_1,β_1)}β_1-\frac{(α_r,β_2)}{(β_2,β_2)}β_2-···-\frac{(α_r,β_{r-1})}{(β_{r-1},β_{r-1})}β_{r-1} βr=αr−(β1,β1)(αr,β1)β1−(β2,β2)(αr,β2)β2−⋅⋅⋅−(βr−1,βr−1)(αr,βr−1)βr−1
-
2.单位化(规范化)
取 ε 1 = β 1 ∣ β 1 ∣ , ε 2 = β 2 ∣ β 2 ∣ , ⋅ ⋅ ⋅ , ε r = β r ∣ β r ∣ ε_1=\frac{β_1}{|β_1|},ε_2=\frac{β_2}{|β_2|},···,ε_r=\frac{β_r}{|β_r|} ε1=∣β1∣β1,ε2=∣β2∣β2,⋅⋅⋅,εr=∣βr∣βr