皮尔逊相关系数(Pearson Correlation Coefficient)

简介：皮尔逊相关系数，用来反映两个随机变量之间的线形相关程度。皮尔逊相关也称为积差相关(或矩阵相关)是一种计算直线相关的方法。

首先，先了解一下协方差(Covariance)，协方差是一个反映两个随机变量相关程度的指标，如果一个变量跟随另一个变量同时变大或者变小，那么这两个变量的协方差就是正值，反之相反，协方差的公式如下：

假设有两个变量X，Y，那么两个变量间的皮尔逊相关系数可通过以下公式计算：

公式一：

其中，cov是协方差，是X的标准差，是Y的标准差。上述公式可以知道，皮尔逊相关系数是用协方差除以两个变量的标准差得到的。

公式二：

公式三：

公式四：

以上列出的四个公式等价，E是数学期望

由公式可知，皮尔逊系数是用协方差除以两个变量的标准差得到的，虽然协方差能反映两个随机变量的相关程度(协方差大于0的时候表示两者正相关，小于0的时候表示两者负相关)，但是协方差值的大小并不能很好地度量两个随机变量的关联程度，例如，现在二维空间中分布着一些数据，我们想知道数据点坐标X轴和Y轴的相关程度，如果X与Y的相关程度较小但是数据分布的较离散，这样会导致求出的协方差值较大，用这个值来度量相关程度是不合理的。

为了更好的度量两个随机变量的相关程度，引入了皮尔逊相关系数，其在协方差的基础上除以了两个随机变量的标准，容易得出，pearson是一个介于-1和1之间的值，当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于1或-1，当一个变量增大，另一个变量也增大时，表明它们之间是正相关的，相关系数大于0；如果一个变量增大，另一个变量却见效，表明它们之间是负相关的，相关系数小于0；如果相关系数等于0，表明它们之间不存在线形关系。

适用范围：

当两个变量的标准差都不为零时，相关系数才有定义，皮尔逊相关系数适用于：

1）两个变量之间是线形相关，都是连续数据；

2）两个变量的总体是正态分布，或接近正态分布的单峰分布；

3）两个变量的观测值是成对的，每对观测值之间相互独立；