Ivanzn

数论函数（一）

转载请标明出处

1.前言

2.数论函数介绍

2.1加性函数

2.1.1加性函数的性质

2.1.2一些加性函数的例子

2.2积性函数

2.2.1积性函数的性质

2.1.2一些积性函数的例子

2.3数论函数的重要操作

2.4一些非算术函数的例子

3.莫比乌斯函数

3.1定义

3.2性质

4.梅滕斯函数

4.1定义

4.2性质

5.刘维尔函数

5.1定义

5.2性质

6.卷积

6.1广义卷积

6.2狄利克雷卷积

6.2.1 定义

6.2.2 意义

6.2.3 具体计算

6.2.4 有关狄利克雷卷积意义下的交换群

7.莫比乌斯反演公式

7.1定义

7.1.1 因数反演公式

7.1.2 倍数反演公式（比较常用)

7.2 应用

7.2.1 计算与卷积的某一项

7.2.2 整数分块

7.2.3 计算 ,

8.参考文献

8.1 文章或其他资料的地址

8.2感谢

9.打“[x]”的式子的证明过程

9.1 为什么要给出证明

9.2具体证明

9.2.1 对式子[1]的证明

9.2.2 对式子[2]的证明

9.2.3 对式子[3]的证明

9.2.4 对式子[4]的证明

9.2.5 对式子[5]的证明

9.2.6 对式子[6]的证明

10.对“反演”的补充

10.1 概念

10.1. 1文字概念

10.1.2 数学概念

10.2几个常见的反演公式

10.2.1莫比乌斯反演

10.2.2二项式反演

10.2.3斯特林反演

10.2.4伯努利反演

10.2.5拉氏反演

11. 结语

1.前言

这篇博客在诞生之前，我对数论函数研究了两天，把一些最基本的概念和关系在这里做出相对详细的阐述，便于自己和网友的理解。

2.数论函数介绍

数论函数是算术函数的另一种叫法。数论函数分为了两种：加性函数和积性函数。

2.1加性函数

2.1.1加性函数的性质

加性函数具有以下性质：设函数为加性函数，且，互质，则。

如果，为任意数，也有，那么为完全加性函数

2.1.2一些加性函数的例子

有很多常见的加性函数，比如：

$\Omega (n)$ ，表示的质因子的数目（可算重复因子），其中， $\Omega (1)=1$

$\omega (n)$ , 表示的相异因子数目

, 表示所有的质因子之和（可算重因子）

, 表示所有的相异因子之和

2.2积性函数

2.2.1积性函数的性质

性质一

积性函数具有以下性质，设函数为积性函数，且, 互质，则 $f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b)$ 。

如果，为任意数，也有 $f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b)$ ，那么为完全积性函数

性质二

设函数为积性函数，且有 $\bg_white n=\prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i}$ ,那么有 $f(n) = \prod_{i=1}^{m} f(p_i^{k_i})$ . 若函数为完全积性函数，则

$f(n)=\prod_{i=1}^{m}f(pi)^{k_1}$

性质三

设函数，为积性函数，那么也为积性函数。

2.1.2一些积性函数的例子

有很多常见的积性函数，比如：

$\phi (n)$ , 欧拉函数, 表示与互质的数的数目

$\mu (n)$ , 莫比乌斯函数

, 固定

$\lambda (n)$ , 刘维尔函数（完全积性函数），其中 $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ ， $\Omega (n)$ （加性函数，上面有提过）

, 单位函数（完全积性函数），其中

所有狄利克雷特征的

2.3数论函数的重要操作

数论函数的重要操作是狄利克雷卷积（是卷积的一个子集）

2.4一些非算术函数的例子

$\Lambda (n) =\left\{\begin{matrix} ln(p),n=p^k\\ 0,else \end{matrix}\right.$ , 其中p是质数

$\pi (n)$ , 表示不大于正整数的素数数目

, 表示整数的拆分方案数目

3.莫比乌斯函数

3.1定义

莫比乌斯函数记为 $\mu (n)$

$\mu (n) = \left\{\begin{matrix} 1,n=1\\ (-1)^r,n=p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_r\\ 0,else \end{matrix}\right.$

由个不重因子组成时，是

3.2性质

积性函数

无穷级数

级数一： $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\mu (n)}{n}=0$

级数二： $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\mu (n)\cdot ln(n)}{n}=-1$

级数三： $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\mu (n)\cdot x^n}{1-x^n}=x$

与刘维尔函数 $\lambda (n)=\sum_{d^2|n} \mu (\frac{n}{d^2})$

假设 $n = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot...\cdot p_n^{a_n}$ ,

$\sum_{d|n}\mu(d) = \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\cdot (-1)^i=\left\{\begin{matrix} 1,n=1\\ 0,n>1 \end{matrix}\right.$

与欧拉函数 $\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d} =\frac{\phi (n)}{n}$

4.梅滕斯函数

4.1定义

梅滕斯函数记为

$M(n)=\sum_{k=1}^{n}\mu(k)$

4.2性质

非积性函数

梅滕斯函数是莫比乌斯函数的求和

5.刘维尔函数

5.1定义

刘维尔函数记为 $\lambda (n)$ ，这在上面的积性函数中提到过

5.2性质

完全积性函数

求和 $\sum_{d|n}\lambda (d)=\left\{\begin{matrix} 1,n=p^2\\ 0,n\neq p^2 \end{matrix}\right.$

与莫比乌斯 $\lambda(n)=\sum_{d^2|n}\mu(\frac{n}{d^2})$

6.卷积

6.1广义卷积

连续卷积

设在上可积，

则 $(f * g )(n)=\int_{-\infty }^{\infty}f(\zeta )\cdot g(n-\zeta)d(\zeta)$

离散卷积

设在 $\mathbb{Z}$ 上可积，

则 $(f * g )(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty}f[m]\cdot g[n-m]\Rightarrow \sum_{m=-\infty }^{\infty}f[n-m]\cdot g[m]$

计算方法

直接按定义计算

快速傅里叶变换

分段卷积

数论变换 $\Leftrightarrow$ 快速数论变换

6.2狄利克雷卷积

6.2.1 定义

设是两个数论函数，

则 $(f * g )(n)=\sum_{d|n}^{\infty}f(d)\cdot g(\frac{n}{d})$

6.2.2 意义

取两个算术函数，计算它们的狄利克雷卷积，则就是积性函数

6.2.3 具体计算

计算一次的情况

设函数已知且为积性函数，设，求

for(int i=1;i*i<=n;++i)
{
	if(n%i)	continue;
	
	h[n]+=f[i]*g[n/i];
	if(i*i!=n)	
		h[n]+=f[n/i]*g[i];
}

计算次的情况

设函数已知且为积性函数，设，求 $h(1) \rightarrow h(n)$

memset(h,0,sizeof(h));
for(int i=1;i<=n;++i) 
	for(int j=1;j*i<=n;++j)
		h[i*j]+=f[i]*g[j];

6.2.4 有关狄利克雷卷积意义下的交换群

单位元

狄利克雷交换群下的单位元，我们设为

那么必须满足：设函数为积性函数，则有

积性函数在狄利克雷卷积意义下的逆

设函数为积性函数，若存在 , 则称为的逆

莫比乌斯函数与的卷积

莫比乌斯函数与的关系: $e = \mu *1$ [1]

这意味着， $\mu$ 和在狄利克雷卷积下互为逆元

欧拉函数与的卷积

欧拉函数与的关系: $id = \phi * 1$ [2]

其中，叫做单位函数（在积性函数提到过）

7.莫比乌斯反演公式

7.1定义

7.1.1 因数反演公式

设函数为积性函数，设 $F(n) =\sum_{d|n} f(d)$ , 那么有 $f(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \cdot F(\frac{n}{d})$ [3]

7.1.2 倍数反演公式（比较常用)

设函数为积性函数，设 $F(n) =\sum_{n|d}f(d)$ , 那么有 $f(n) = \sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n}) \cdot F(d)$ [4]

所谓反演，即从和函数推导算术函数

7.2 应用

7.2.1 计算与卷积的某一项

设函数为积性函数，设函数 ,求 $(n<=1^{18})$

有 $n = \prod_{i=1}^{t}p_i^{k_i}$ , 使用 Pollard_rho 算法分解因式，复杂度 $O(n^{\frac{1}{4}}\cdot log n)$

而且 $g(n) = \sum_{d|n} f(d)$ ，

通过化简，我们就得到了 $g(n) = \prod_{i=1}^{t}\sum_{j=0}^{k_i} f(p_i^j)$ [5]

于是，计算的时间复杂度变成了

7.2.2 整数分块

设函数为积性函数，求 $f(n) = \sum_{i=1}^{n} g(i) \cdot \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$

设 $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ 的值固定，那么的浮动范围是 $[\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \frac{n}{i}\right \rfloor+1} +1\right \rfloor,\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor} \right \rfloor]$ .

我们可以预先处理函数的前缀和，这样可以算的区间和，时间复杂度变成了 $O(\sqrt n)$

7.2.3 计算 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(gcd(i,j))$ ,

化简得到： $\sum_{D=1}^{n}\sum_{d|D}f(d)\cdot \mu(\frac{D}{d}) \cdot \left \lfloor \frac{n}{D} \right \rfloor \cdot \left \lfloor \frac{m}{D} \right \rfloor$ [6]

8.参考文献

8.1 文章或其他资料的地址

1https://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647

2.https://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html

3.https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8627380.html

4.https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009

5.https://blog.csdn.net/jk_chen_acmer/article/details/82712276

6.https://blog.csdn.net/qq_41157137/article/details/83474978

7.https://wenku.baidu.com/view/f87f4b55b14e852459fb572b.html?from=search

8.https://baike.baidu.com/item/%E5%BA%8F%E5%88%97%E5%8F%8D%E6%BC%94/18894077?fr=aladdin

9.https://blog.csdn.net/hhaannyyii/article/details/79335883

8.2感谢

在此，向以上原创作者表示衷心的感谢

9.打“[x]”的式子的证明过程

9.1 为什么要给出证明

在上面的文章中，有一些式子的结尾带有“[x]”的标记，x是数字。表明这个式子最好需要能够给出证明过程，因为可以加深印象

9.2具体证明

9.2.1 对式子[1]的证明

$\because (\mu * 1)(n) = \sum_{d|n} \mu(d) =\begin{cases} 1 & \text{ if } n=1 \\ 0 & \text{ if } n>1 \end{cases}$

$\therefore \mu *1 = [e==1]$

9.2.2 对式子[2]的证明

$\because id(n) = n$

$\therefore$ 即证明 $n = \phi *1$

$\therefore$ 即证明 $n = \sum_{d|n} \phi(d)$

设 $n = \prod_{i=1}^{t}p_i^{a_i}$ ,

引理1： $\phi(p^k) = p^k-p^{k-1}$ （是质数）

证明引理1：显然，在 ~ 中，只有的倍数与不互质，那么共有 $\frac{p^k}{p}=p^{k-1}$ 个数与不互质，那么就有 $p^k-p^{k-1}$ 个数与互质。

引理2： $\sum_{j=0}^{k_i}\phi(p_i^j) = p_i^{k_i}$ （是质数）

证明引理2：由引理1显然

$\sum_{j=1}^{k_i}\phi(p_i^j)=\phi(p_i^{0})+\phi(p_i^1)+...+\phi(p_i^{k_i})=1+(p_i-1)+(p_i^2-p_i)+...+(p_i^{k_i}-p_i^{k_i}-1)$

那么原式就等于 $p_i^{k_i}$

显然，由引理2，我们可以得到： $n=\prod_{i=1}^{t}p_i^{k_i}=\prod_{i=1}^{t}\sum_{j=0}^{k_i}\phi(p_i^j)$

9.2.3 对式子[3]的证明

证明这个式子，我所知道的有两种方法：

方法一（单位元法）

$\because F=\sum_{d|n}f(d)=f*1$

$\therefore F*\mu=f*1*\mu$

$\because 1*\mu=e$

$\therefore F *\mu = f$

$\therefore f(n)=\sum_{d|n} \mu(d)\cdot F(\frac{n}{d})$

方法二

$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d) \cdot F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot \sum_{k|\frac{n}{d}}fk)=\sum_{k|n}f(k) \cdot \sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)$

最后一个等号的成立，是因为只有当时， $\sum_{d|n}\mu(d)=1$

9.2.4 对式子[4]的证明

$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n}) \cdot F(d){\underset{k=\frac{d}{n}}{\rightarrow}} f(n)=\sum_{k=1}^{+\infty}\mu(k)\cdot F(n \cdot k)$

$= \sum_{k=1}^{+\infty} \mu(k)\cdot \sum_{n \cdot k|t} f(t)$

$= \sum_{n|t} f(t)\cdot \sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)$

最后一个等号的成立的原因同上

9.2.5 对式子[5]的证明

$\because g(n)=\sum_{d|n} f(d)$

$\because n=\prod_{i=1}^{t}p_i^{k_i}$

$\therefore g(n)= \prod_{i=1}^{t}g(p_i^{k_i})$

$\because g(p_i^{k_i})=\sum_{j=0}^{k_i}f(p_i^j)$

$\therefore g(n)=\prod_{i=1}^{t} \sum_{j=0}^{k_i}f(p_i^j)$

9.2.6 对式子[6]的证明

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(gcd(i,j))$

$=\sum_{d=1}^{n}f(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]$

$=\sum_{d=1}^{n}f(d)\sum_{d*i=1}^{n}\sum_{d*j=1}^{m}[gcd(d*i,d*j)==d]$

$=\sum_{d=1}^{n}f(d)\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}[gcd(i,j)==1]$

设 $g(d,n,m)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]$

设 , 有 $f(d,n,m) = \sum_{d|D}g(D,n,m)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[d|gcd(i,j)]=\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \cdot \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor$

由倍数反演，得到：
$g(d,n,m)=\sum_{d|D}\mu(\frac{D}{d}) \cdot f(D,n,m) = \sum_{d|D}=\mu(\frac{D}{d}) \cdot \left \lfloor \frac{n}{D} \right \rfloor \cdot \left \lfloor \frac{m}{D} \right \rfloor$

$\because$ 要求

$\therefore$ 求

$\because g(1,n,m) = \sum_{i=1}^{n} \mu(i) \cdot \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{i} \right \rfloor$

$\therefore$

$=\sum_{d=1}^{n}f(d) \cdot g(d,n,m)$

$=\sum_{d=1}^{n}f(d) \cdot \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor$

$=\sum_{d=1}^{n}f(d) \sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d}\right \rfloor}\mu(i) \cdot \left \lfloor \frac{n}{d*i} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{d*i} \right \rfloor$

$=\sum_{D=1}^{n} \sum_{d|D}f(d)\cdot\mu(\frac{D}{d}) \cdot \left \lfloor \frac{n}{D} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{D} \right \rfloor$

10.对“反演”的补充

10.1 概念

10.1. 1文字概念

我们说“反演”，那么相对的就会有“正演”。

所谓”正演“就是知道了原因，就能推导出结果。

而所谓”反演“就是知道了结果，就能反推导出原因。

10.1.2 数学概念

注：这里的反演指的是“级数之间的互反关系”或者“整数序列的互反关系”

设两个函数若有如下关系的一种：

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}C_{n,i}g(i)$

$g(n)=\sum_{i=0}^{n}H_{n,i}f(i)$

那么，另一种个关系必然成立，在下面介绍的几个反演公式中也用这两种方程表示

其中， $C_{n,i},H_{n,i}$ 是系数矩阵

10.2几个常见的反演公式

10.2.1莫比乌斯反演

上面提到过，这里不再赘述

10.2.2二项式反演

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}g(i)$

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i)$

10.2.3斯特林反演

这里，斯特林反演包含了“第一类斯特林数”和“第二类斯特林数”之间的关系

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}s_1(n,i) \cdot g(i)$

$g(n)=\sum_{i=0}^{n}s_2(n,i) \cdot f(i)$

其中，表示第一类斯特林数，表示第二类斯特林数

10.2.4伯努利反演

伯努利数介绍

伯努利数的前几项分别为： $B_0=1,B_1=-\frac{1}{2},B_2=-\frac{1}{6},B_3=0,....$

特点：除以外，所有奇数项的伯努利数均为0

伯努利数的递推式： $B_n=[n==0] - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{B_i}{n-i+1} \cdot \binom{n}{i}$

其中 $[n==0]=\begin{cases} 1 & \text{ if } x=0 \\ 0 & \text{ if } x>0 \end{cases}$

伯努利数在求等幂级数上的应用

所谓等幂级数，就是: $s(n,m)=\sum_{i=1}^{n} i^m$

利用伯努利数，化简得到： $s(n,m)=\frac{1}{m+1}\cdot \sum_{i=0}^{m}\cdot (-1)^i\cdot \binom{m+1}{i}\dot B_i \cdot n^{m+1-i}$

现在，让我们思考一下，如果如果用直接计算的方法，来算第一个等式的话，

时间复杂度变成了 $O(n \cdot log n)$ , 明显超时

但是，如果采用经过化简得第二个式子的话，时间复杂度变成了 $O(m+m \cdot log m)$

但是，实际上，第二个式子是得到了一个关于在变化的基础上得到的一个关于的通项公式

这里我写出伯努利数分子分母的号码：分子：A027641，分母：A027642

伯努利反演

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} \frac{b_i}{n-i+1}$

$g(n)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} \cdot B_{n-i} \cdot f(i)$

10.2.5拉氏反演

拉氏数(也叫数)

拉氏数的通项公式是： $L(n,k)=(-1)^n \cdot \frac{n!}{k!} \cdot \binom{n-1}{k-1}$

拉氏数的递推式是： $L(n+1,k)=-(n+k) \cdot L(n,k) - L(n,k-1)$

其中，

还有，

拉氏反演

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}L(n,k) \cdot g(i)$

$g(n)=\sum_{i=0}^{n}L(n,k) \cdot f(i)$

11. 结语

有任何问题，欢迎留言

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本科背景：某北京211学校电子信息工程互联网开发工作两年录取结果：全日制软件工程学院分数：初试350+复试笔试80+面试85+总排名：100+从五月份开始脱产学习，我主要说一下专业课和复试还有我对非全的一些看法。【数学100+】张宇，张宇，张宇。跟着张宇学习，入门视频刷一遍，真题刷两遍，错题刷三遍。书刷N多遍。从视频开始学习，是最快的学习方法。5-7月份把主要是数学学好，8-9月份开始给自己每个周
Python入门之Lesson2:Python基础语法小熊同学哦 Python入门课程 python 开发语言算法数据结构青少年编程
目录前言一.介绍1.变量和数据类型2.常见运算符3.输入输出4.条件语句5.循环结构二.练习三.总结前言欢迎来到《Python入门》系列博客的第二课。在上一课中，我们了解了Python的安装及运行环境的配置。在这一课中，我们将深入学习Python的基础语法，这是编写Python代码的根基。通过本节内容的学习，你将掌握变量、数据类型、运算符、输入输出、条件语句等Python编程的基础知识。一.介绍1
【2022 CCF 非专业级别软件能力认证第一轮（CSP-J1）入门级 C++语言试题及解析】汉子萌萌哒 CCF noi 算法数据结构 c++
一、单项选择题(共15题，每题2分，共计30分；每题有且仅有一个正确选项)1.以下哪种功能没有涉及C++语言的面向对象特性支持：()。A.C++中调用printf函数B.C++中调用用户定义的类成员函数C.C++中构造一个class或structD.C++中构造来源于同一基类的多个派生类题目解析【解析】正确答案:AC++基础知识，面向对象和类有关，类又涉及父类、子类、继承、派生等关系，printf
Golang语言基础知识点总结最帅猪猪侠 golang 开发语言后端
Golang语言基础知识点小总结1.go语言有两大类型：值类型：数值类型，bool，string，数组，struct结构体变量直接存储值，内存通常在栈中分配,修改值,不会对源对象产生影响引用类型：指针，slice切片，管道chan，map，interface变量存储的是一个地址，这个地址对应的空间才真正存储数据值，内存通常在堆上分配，当没有任何变量引用这个地址时，该地址对应的数据空间就成为一个垃圾
3.增删改查--连接查询问女何所忆
关系型数据库的一个特点就是，多张表之间存在关系，以致于我们可以连接多张表进行查询操作，所以连接查询会是关系型数据库中最常见的操作。连接查询主要分为三种，交叉连接、内连接和外连接，我们一个个说。1、交叉连接交叉连接其实连接查询的第一个阶段，它简单表现为两张表的笛卡尔积形式，具体例子：如果你没学过数学中的笛卡尔积概念，你可以这样简单的理解这里的交叉连接：两张表的交叉连接就是一个连接合并的过程，T1表中
高级UI<第二十四篇>：Android中用到的矩阵常识 NoBugException
（1）定义在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。由m×n个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：图片.png这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m×n，m×n矩阵A也记作Amn。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复
感恩日记Day 236 E姐小酒窝
图片发自App1.感谢16愿意听我"唠叨"，人与人的信任和托付在此刻弥足珍贵珍贵；2.感谢到家就能吃上美味的中餐，辛苦妞爸；3.感谢妞中午愿意听我叼叼旅行中的事儿；4.感谢星巴克就在家附近，让我一杯回魂；5.感谢美妞总结我和爸爸优点并说两者揉和就很棒了。6.感谢看到妞第一天数学成绩后淡定的自己；将责任归回妞自己并总结行动。7.感谢林姐姐信任，又定变啦减脂套餐。8.感谢梅姐知道我旅行回来后约我吃饭；
【高中数学/三角函数/判别式法求极值】已知：实数a,b满足a^2/4-b^2=1 求：3a^2+2ab的最小值普兰店拉马努金高中数学之三角函数高中数学三角函数判别式
【问题】已知：实数a,b满足a^2/4-b^2=1求：3a^2+2ab的最小值【来源】App"网易新闻"中up主“我服子佩”的数学视频专辑，据其称是北京市某年的竞赛题。【解答】由a^2/4-b^2=1，联想到secθ^2-tanθ^2=1故设a/2=1/cosθ,b=sinθ/cosθ将a=2/cosθ,b=sinθ/cosθ代入3a^2+2ab得f(θ)=(12+4sinθ)/(1-sinθ^2
go基础知识归纳总结悟空丶123 golang 开发语言后端
无缓冲的channel和有缓冲的channel的区别？在Go语言中，channel是用来在goroutines之间传递数据的主要机制。它们有两种类型：无缓冲的channel和有缓冲的channel。无缓冲的channel行为：无缓冲的channel是一种同步的通信方式，发送和接收必须同时发生。如果一个goroutine试图通过无缓冲channel发送数据，它会阻塞，直到另一个goroutine从该
2024年华为杯数学建模研赛C题思路代码+论文助攻 DS数模 2024华为杯数学建模华为 2024华为杯 2024研究生数学建模 2024研赛
2024年华为杯研究生数学建模竞赛（以下简研赛）将于9月21日上午8时正式开始。下文包含：2024研赛思路解析、研赛参赛时间及规则信息说明、好用的数模技巧及如何备战数学建模竞赛C君将会第一时间发布选题建议、所有题目的思路解析、相关代码、参考文献、参考论文等多项资料，帮助大家取得好成绩。2024年研赛将于9月21日上午8时正式开始这里有些资料，大家可以看看：【2024最全国赛研赛数模资料包】C君珍贵
2021-10-17(376) 刘玥上学记
今天早上妈妈六点就把我喊起来了，天气太冷了，姥姥给我们煮了鸡蛋，路上保暖用一切按部就班的进行，到公司刚刚好七点五十妈妈给我安排的是上午两张试卷，下午两张试卷上午的没做完，下午的我实在是不想做了，后来凯丽姐姐说早点写完，可以早些玩耍我就回办公室写作业了一直到下午四点半，凯丽姐姐过来检查，数学卷子还没做完询问了半天，原来是乘法口诀没有背过，然后凯丽姐姐就一个一个的给我提问而且还说让我晚上回去自己再重新
2021-10-03 虫虫新生111
今天放假的第3天感觉过得好快，总体来说数学做了25道题，里边有几道题还是弄得不清楚，仍然不懂怎么做，不过整体感觉思路比去年要清晰很多，因为有去年的基础，今年还是比较轻松一些。逻辑做了有几道题，6题，错2，有些概念总的是模糊不清，还是要反复的再整理一下概念，以及回头看一下讲的基础知识，把基础的公式弄懂才可以。现在困了睡觉，明天早点起床。
开发游戏的学习规划杰克逊的日记游戏学习
第一阶段：●C#语言快速系统地学习一遍（基础的语法、面向对象、基础的数据结构、基础的设计模式）●Unity的2D和3D部分及UI、动画、物理系统●阶段性测验：需要去用前面所学的这些基础知识来完成一个简单的2d或者3d的案例，将通过一个自制的《Flappybird》游戏案例讲解游戏开发的思想及方法，并将《Flappybird》这个游戏进一步改造成一个横版射击类游戏《Crazybird》以巩固并且升华
【Python基础】Python迭代器与生成器（两种强大工具）姑苏老陈 Python编程入门 python 开发语言 python迭代器与生成器
本文收录于《Python编程入门》专栏，从零基础开始，分享一些Python编程基础知识，欢迎关注，谢谢！文章目录一、前言二、迭代器2.1创建迭代器2.2自定义迭代器2.3处理大型文件三、生成器四、生成器表达式五、实际应用案例5.1数据库查询5.2网络数据流处理六、总结一、前言在Python中，迭代器与生成器是两种非常强大的工具，它们可以帮助我们有效地处理大量数据，特别是在需要逐个访问元素的情况下。
七.正则化愿风去了
吴恩达机器学习之正则化（Regularization）http://www.cnblogs.com/jianxinzhou/p/4083921.html从数学公式上理解L1和L2https://blog.csdn.net/b876144622/article/details/81276818虽然在线性回归中加入基函数会使模型更加灵活，但是很容易引起数据的过拟合。例如将数据投影到30维的基函数上，模
腾讯发表多模态综述，一文详解多模态大模型存内计算开发者社区多模态大模型人工智能 chatgpt AIGC 量子计算 AI-native gpt agi
多模态大语言模型（MLLM）是近年来兴起的一个新的研究热点，它利用强大的大语言模型作为大脑来执行多模态任务。MLLM令人惊讶的新兴能力，如基于图像写故事和无OCR的数学推理，在传统方法中是罕见的，这表明了一条通往人工通用智能的潜在道路。在本文中，追踪多模态大模型最新热点，讨论多模态关键技术以及现有在情绪识别上的应用。腾讯AILab发表了一篇关于多模态大模型的最新综述《MM-LLMs:RecentA
创设问题情境的策略平常心666
创设情境要有情趣案例：可以圈多少地如何让孩子喜欢数学，是数学教师必须思考和解决的问题。有趣的情境会吸引学生，使学生主动走近数学学习。因此，教师要结合学生的年龄特点和实际生活，创造出富有数学情趣的情境。创设情境要有生活案例：克与千克的生活情境正如著名数学家华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。”数学与现实生活有着密切的联系。创设情境要有问题案例：喝出
致良知之寄诸用明书 BonSun
众所周知，当今社会，父母和社会、学校对学生的期望往往是唯分数论，包括每个人对成功的理解也往往是功名利禄，忽视了最基本的学问。文中提到，花之千叶者无实，为其华美太发露耳。人只有沉下心来，韬光养晦，才能拥有真正的学问和本领。
丁俊贵之《“女人和男人”那些事》兴时态_198812
【“女人和男人”那些事】生活中，我们经常用性别来给很多现象和问题贴标签。比如：女性发脾气是常见的事情，所以不要跟她们讲道理，要让着她们；女性考虑问题总是比较感性，不如男性那么理性、严谨、全面；女生的数学成绩普遍比较差，因此选文科的女生更多；……许许多多像这样的认知，已经成为我们根深蒂固的信念。我们在生活中哪怕不会直接这样讲，但多多少少都会有类似的想法和感受，并且用这些信念去理解和认知他人。一、人世
MATLAB语言基础教程、小项目1：简单的计算器、小项目2：有页面的计算器、使用App Designer创建GUI计算器 azuredragonz 学习教程 matlab 开发语言
MATLABMATLAB语言基础教程1.MATLAB简介2.基本语法变量与赋值向量与矩阵矩阵运算数学函数控制流3.函数4.绘图案例：简单方程求解小项目1：简单的科学计算器功能代码项目说明小项目2：有页面的计算器使用AppDesigner创建GUI计算器主要步骤：完整代码（使用MATLAB编写）说明：如何运行：小项目总结MATLAB语言基础教程1.MATLAB简介MATLAB（矩阵实验室）是一种用于
书其实只有三类西蜀石兰类
一个人一辈子其实只读三种书，知识类、技能类、修心类。知识类的书可以让我们活得更明白。类似十万个为什么这种书籍，我一直不太乐意去读，因为单纯的知识是没法做事的，就像知道地球转速是多少一样（我肯定不知道），这种所谓的知识，除非用到，普通人掌握了完全是一种负担，维基百科能找到的东西，为什么去记忆？知识类的书，每个方面都涉及些，让自己显得不那么没文化，仅此而已。社会认为的学识渊博，肯定不是站在
《TCP/IP 详解，卷1：协议》学习笔记、吐槽及其他 bylijinnan tcp
《TCP/IP 详解，卷1：协议》是经典，但不适合初学者。它更像是一本字典，适合学过网络的人温习和查阅一些记不清的概念。这本书，我看的版本是机械工业出版社、范建华等译的。这本书在我看来，翻译得一般，甚至有明显的错误。如果英文熟练，看原版更好： http://pcvr.nl/tcpip/ 下面是我的一些笔记，包括我看书时有疑问的地方，也有对该书的吐槽，有不对的地方请指正： 1.
Linux—— 静态IP跟动态IP设置 eksliang linux IP
一.在终端输入 vi /etc/sysconfig/network-scripts/ifcfg-eth0 静态ip模板如下： DEVICE="eth0" #网卡名称 BOOTPROTO="static" #静态IP（必须） HWADDR="00:0C:29:B5:65:CA" #网卡mac地址 IPV6INIT=&q
Informatica update strategy transformation 18289753290
更新策略组件：标记你的数据进入target里面做什么操作，一般会和lookup配合使用，有时候用0,1,1代表 forward rejected rows被选中，rejected row是输出在错误文件里，不想看到reject输出，将错误输出到文件，因为有时候数据库原因导致某些column不能update，reject就会output到错误文件里面供查看，在workflow的
使用Scrapy时出现虽然队列里有很多Request但是却不下载，造成假死状态酷的飞上天空 request
现象就是：程序运行一段时间，可能是几十分钟或者几个小时，然后后台日志里面就不出现下载页面的信息，一直显示上一分钟抓取了0个网页的信息。刚开始已经猜到是某些下载线程没有正常执行回调方法引起程序一直以为线程还未下载完成，但是水平有限研究源码未果。经过不停的google终于发现一个有价值的信息，是给twisted提出的一个bugfix 连接地址如下http://twistedmatrix.
利用预测分析技术来进行辅助医疗蓝儿唯美医疗
2014年，克利夫兰诊所（Cleveland Clinic）想要更有效地控制其手术中心做膝关节置换手术的费用。整个系统每年大约进行2600例此类手术，所以，即使降低很少一部分成本，都可以为诊所和病人节约大量的资金。为了找到适合的解决方案，供应商将视野投向了预测分析技术和工具，但其分析团队还必须花时间向医生解释基于数据的治疗方案意味着什么。克利夫兰诊所负责企业信息管理和分析的医疗
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最近使用Tomcat做web服务器，使用Servlet技术做开发时，对Tomcat的框架的简易分析：疑问：为什么我们在继承HttpServlet类之后，覆盖doGet(HttpServletRequest req, HttpServetResponse rep)方法后，该方法会自动被Tomcat服务器调用，doGet方法的参数有谁传递过来？怎样传递？分析之我见： doGet方法的
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玖富旗下悟空理财凭借着一个微信公众号上线当天成交量即破百万，第七天成交量单日破了1000万;第23天时，累计成交量超1个亿……至今成立不到10个月，粉丝已经超过500万，月交易额突破10亿，而玖富平台目前的总用户数也已经超过了1800万，位居P2P平台第一位。很多互联网金融创业者慕名前来学习效仿，但是却鲜有成功者，玖富的粉丝营销对外至今仍然是个谜。　　近日，一直坚持微信粉丝营销
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会话跟踪主要是用在用户页面点击不同的页面时,需要用到的技术点会话:多次请求与响应的过程 1,url地址传递参数,实现页面跟踪技术格式:传一个参数的 url?名=值传两个参数的 url?名=值 &名=值关键代码
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　不久之前，我面试了一些求职Java高级开发工程师的应聘者。我常常会面试他们说，“你能给我介绍一些Java中得弱引用吗？”，如果面试者这样说，“嗯，是不是垃圾回收有关的？”，我就会基本满意了，我并不期待回答是一篇诘究本末的论文描述。　　然而事与愿违，我很吃惊的发现，在将近20多个有着平均5年开发经验和高学历背景的应聘者中，居然只有两个人知道弱引用的存在，但是在这两个人之中只有一个人真正了
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数论函数（一）

转载请标明出处

1.前言

2.数论函数介绍

2.1加性函数

2.1.1加性函数的性质

2.1.2一些加性函数的例子

2.2积性函数

2.2.1积性函数的性质

2.1.2一些积性函数的例子

2.3数论函数的重要操作

2.4一些非算术函数的例子

3.莫比乌斯函数

3.1定义

3.2性质

4.梅滕斯函数

4.1定义

4.2性质

5.刘维尔函数

5.1定义

5.2性质

6.卷积

6.1广义卷积

6.2狄利克雷卷积

6.2.1 定义

6.2.2 意义

6.2.3 具体计算

6.2.4 有关狄利克雷卷积意义下的交换群

7.莫比乌斯反演公式

7.1定义

7.1.1 因数反演公式

7.1.2 倍数反演公式（比较常用)

7.2 应用

7.2.1 计算 与 卷积的某一项

7.2.2 整数分块

7.2.3 计算 ,

8.参考文献

8.1 文章或其他资料的地址

8.2感谢

9.打“[x]”的式子的证明过程

9.1 为什么要给出证明

9.2具体证明

9.2.1 对式子[1]的证明

9.2.2 对式子[2]的证明

9.2.3 对式子[3]的证明

9.2.4 对式子[4]的证明

9.2.5 对式子[5]的证明

9.2.6 对式子[6]的证明

10.对“反演”的补充

10.1 概念

10.1. 1文字概念

10.1.2 数学概念

10.2几个常见的反演公式

10.2.1莫比乌斯反演

10.2.2二项式反演

10.2.3斯特林反演

10.2.4伯努利反演

10.2.5拉氏反演

11. 结语

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7.2.1 计算与卷积的某一项

7.2.3 计算 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(gcd(i,j))$ ,