2017-8-30 NOIP冲刺

Task 1：锦标赛

题目描述：

给出2^n个数，进行n此操作。每次操作对当前剩下的数两两比较(任意组合都可以)，留下较大的那个。现在询问对于每个数，做多可以进行多少操作。

题目分析：

我们可以很显然发现，按照题意进行操作我们可以得到一颗完全二叉树。所以对于一个数a，有b个数小于等于a，那么ans=log2(b)。

Code:

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int MAXN = 1<<20;

int b, n;
int a[MAXN+5], q[MAXN+5];

int main(){
    scanf("%d",&b), n = 1<for(int i = 1; i <= n; ++ i)
        scanf("%d",&a[i]), q[i] = a[i];
    sort(q+1, q+n+1);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        int p = upper_bound(q+1, q+n+1, a[i])-q-1;
        printf("%d",log2(p));
        if(i != n) putchar(32);
        else putchar(10);
    }
    return 0;
}

Task 2:不完美值

题目描述：

给出数组a[]，区间[l,r]。令xi表示sigma(b) (b|a[i] && b!=a[i])。求sigma(abs(ai-xi)) (l<=i<=r)。

题目分析：

这道题就是裸的求一个数的真因子和。但是考虑到做多有10^7个数，所以不能暴力的对每个数用sqrt(n)的时间来求，这样肯定会T。
所以我们就需要一个线性的算法。
我们定义f[i]表示i的因子和，p是素数且p|i。
所以f[i]=(1+p1+p1^2+……p1^k1)*(1+p2+p2^2+……p2^k2)*……*(1+pn+pn^2+……pn^kn)。
这样我们就可以用类似筛法来求了。

Code：

#include 
#define abs(v) ((v)<0 ? -(v):(v))
int l, r;
long long f[10000005], ans;
inline void getans(int n){
    f[1] = 1;
    int tmp, sum, d;
    for(int i = 2; i <= n; ++ i){
        if(!f[i]){
            for(int j = 2; j*i <= n; ++ j){
                tmp = j*i, sum = 0, d = i;
                while(tmp%i == 0) tmp /= i, sum += d, d *= i;
                if(!f[j*i]) f[j*i] = 1;
                f[j*i] *= sum;
            }
            f[i] = i+1;
        }
        if(i >= l) ans += abs(i+i-f[i]);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&l,&r);
    getans(r);
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}

Task 3:糖果

题目描述：

给出n(n<10^5)个节点，每个节点有一个权值p(p<10^7)。连接两个节点i,j的代价为min(pi%pj,pj%pi)。
求将这些节点连成一棵树的最小代价。

题目分析：

首先我们可以很显然的看出这道题就是一道最小生成树，但如果暴力建树的话，最多就会有n^2条边。
就算不考虑时间，但是空间上也过不了。
所以解题的关键就在于怎样把一些一定不会被用到的边删去，在连边的时候只连那些有可能被选中的边。
按照这样想下去。
如果我们先把点按从小到大排序。那么在i,j(i

Code：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include
#include


using namespace std;

#define TRACE(x) cerr << #x << " = " << x << endl
#define REP(i, n) for (int i=0; i
#define FOR(i, a, b) for (int i=(a); i<(b); i++)

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
#define X first
#define Y second

const int MAXN = 1<<19, MAXM = 1e7 + 5;

vector 
 V[MAXM];
int najbliz[MAXM];
int p[MAXN];
int n;
int root[MAXN], rnk[MAXN];
int bio[MAXM], ozn[MAXM];

int find(int x)
{
  if (root[x] == -1) return x;
  return root[x] = find(root[x]);
}

void merge(int a, int b)
{
  a = find(a);
  b = find(b);
  assert(a != b);

  if (rnk[a] > rnk[b]) root[b] = a;
  else if (rnk[b] > rnk[a]) root[a] = b;
  else {
    rnk[a]++;
    root[b] = a;
  }
}

int main()
{
    freopen("sirni.in","r",stdin);
    freopen("sirni.out","w",stdout);
  scanf("%d", &n);
  memset(ozn, -1, sizeof ozn);
  REP(i, n) {
    scanf("%d", &p[i]);
    najbliz[p[i]] = p[i];
    if (ozn[p[i]] == -1)
      ozn[p[i]] = i;
  }

  for (int i=MAXM-2; i>=0; i--)
    if (!najbliz[i])
      najbliz[i] = najbliz[i+1];

  REP(i, n) {
    if (bio[p[i]]++) continue;
    if (najbliz[p[i]+1]) {
      if (2*p[i] >= MAXM || najbliz[2*p[i]] != najbliz[p[i]+1])
        V[najbliz[p[i]+1] - p[i]].push_back(P(i, ozn[najbliz[p[i]+1]]));
    }

    for (int j=2*p[i]; jif (j + p[i] >= MAXM || najbliz[j+p[i]] != najbliz[j])
        V[najbliz[j]-j].push_back(P(i, ozn[najbliz[j]]));
  }

  memset(root, -1, sizeof root);
  ll rje = 0;
  REP(i, MAXM)
    REP(j, (int) V[i].size())
    if (find(V[i][j].X) != find(V[i][j].Y)) {
      merge(V[i][j].X, V[i][j].Y);
      rje += i;
    }

  REP(i, n) if (ozn[p[i]] == i) { assert(find(i) == find(0)); }

  printf("%lld\n", rje);

  return 0;
}