#递归、DP# 2749: 分解因数

题目链接：http://bailian.openjudge.cn/practice/2749/

描述

给出一个正整数a，要求分解成若干个正整数的乘积，即a = a1 * a2 * a3 * ... * an，并且1 < a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an，问这样的分解的种数有多少。注意到a = a也是一种分解。

输入

第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数a (1 < a < 32768)

输出

n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个正整数，指明满足要求的分解的种数

 

Solution：

定义 dp[i][j] 表示将 i 分解成不大于 j 的因数的个数
i 如果能分解出来 j ，即为 i%j == 0；那么其可以由两种互斥的情况组成：

1. 如果最终的划分结果有至少一个 j 那么其种类数为 dp[ i/j ][j] (注意下次最大划分数仍是 j，表示下一次仍然可以划分出 j，如果要求分解的每个数不重复，那么改为 dp[ i/j ][ j-1 ] 即可)
2. 如果最终的划分结果连一个 j 都没有，那么其种类数为 dp[i][ j-1 ]

比如  8%2==0，dp[8][2] = dp[4][2] + dp[8][1]，前面的是至少有一个2(然后把这个2划分出去，剩下的部分组合的数量是 dp(4, 2))，后面的是没有划分出2(那么划分出来最大的数就是1)，i 如果不能分解 j，即为 i%j != 0 ，那么 dp[i][j] = dp[i][ j-1 ]。

总结：
if( i%j ==0 )  dp[i][j] = dp[i][ j-1 ] + dp[ i/j ][j];
else  dp[i][j] = dp[i][ j-1 ];

然后寻找出口
1.  if( j>i ) dp[i][j] = dp[i][i]
2.  dp[1][1] = dp[1][0] + dp[1][1] 
3.  dp[2][2] = dp[2][1] + dp[1][1] = 1  
根据上面两行推导出 dp(2, 1) = 0，dp[1,1] = 1，可以推导if( i>1 )  dp(i,1) = 0。

总结得到出口条件：
i==1  return 1;
j==1  return 0;
注意上面两行是有顺序的，不能颠倒。

 

参考博客：https://www.cnblogs.com/MapReduce/p/8376190.html

 

Code：

解法一：

int solve(int i, int j)  //本题数据量太小 ,不用记录状态,递归即可直接A
{
    if(i == 1) return 1;
    if(j == 1) return 0;
    if(i%j == 0) return solve(i/j, j) + solve(i, j-1);
    return solve(i, j - 1);
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--){
        int x; cin >> x;
        int ans = solve(x, x);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

解法二：

int dp(int i, int n) {
	int ans = 1;
	for(; i <= sqrt(n); i++) {
		if(n % i == 0) ans += dp(i, n/i);
	}
	return ans;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        int a;
        scanf("%d", &a);
    	printf("%d\n", dp(2, a));
    }
    return 0;
}