矩阵空间理解

最近学习了矩阵的空间，以及各个空间的关系，为了以后查阅方便，便做个笔记，有错误的地方请大家指正一下。

数学符号

符号	意义
Rn	n维实空间
Rm×n	mxn的实矩阵集合
T	转置
det(A)	行列式
C(A)	列空间
N(A)	零空间
A−1	逆
diag(a)	将向量转化为对角矩阵
Tr	迹
rank	秩

重新看待矩阵和 Ax=b

[21−11]A∈R2×2[xy]x∈R2=[15]b∈R2(1)

Ax=b 的行视图

行视图：凸优化中的超平面

2x−y=1x+y=5(2)

可以将(2)理解为两个直线相交与一点

2u+v+w=54v−6v=−2−2u+7v+2w=5(3)

可以将(3)理解为三个平面相交与一点：

Ax=b 的列视图

列视图：矩阵列的线性组合。
(2)可以理解为以下形式：

x[21]+y[−11]=[15](4)

(3)可以理解为以下形式：

u⎡⎣⎢24−2⎤⎦⎥+v⎡⎣⎢1−67⎤⎦⎥+w⎡⎣⎢102⎤⎦⎥=⎡⎣⎢5−29⎤⎦⎥(5)

(4)与(5)可以理解为向量相加得到向量，我们将（4）用图(3),(5)用图(4)示意：
图(3)如下：

图(4)如下：

线性相关与线性无关

线性相关：矢量集[ a1,a2,⋯,an ]是线性相关的，如果 ∑nk=1ckak=0 ，当且仅当 c1,c2,⋯,cn≠0 。即，至少有一个向量， al 可以由其他向量线性表出：

al=−1cl∑k=1,k≠lnckak(5)

线性无关：矢量集[ a1,a2,⋯,an ]是线性无关的（即不是线性相关的），如果 ∑nk=1ckak=0 ，当且仅当 c1,c2,⋯,cn=0 。

思考：对于线性相关的理解可以参考图(3)理解；将 [21] 设置为 a1 ， x 设置为 c1 ， [−11] 设置为 a2 ， y 设置为 c2 , [15] 设置为 a3 ；那么(4)可以改写为 c1a1+c2a2=a3 ；通过图(3)可以展示他们的关系，知道[a_1,a_2,a_3]是线性相关的。图4也可以这样理解。

性质：定义 A=[a1,a2,⋯,an] ，则 Ax=0 只有 x=0 ，没有其他线性组合能产生 0 （即 A 线性无关的），此时矩阵 A 是可逆的。

Span、基和子空间(Subspace)

Span：生成子空间

span=[a1,a2,⋯,an]={y∈Rm|y=∑n=1nckak}=S

---

• A=[a1,a2,⋯,an] 的所有线性组合。此时，如果 [a1,a2,⋯,an] 是线性无关的，则他们是 S 的一组基。正交基满足条件是 aTiaj=0 ；也可以理解为向量 ai 与向量 aj 夹角是90度。

• S 可以有不同的一组基，但是基向量的的个数是相同的，被称为 S 的维数，等于 rank(A) 。一个子空间用一组基就可以表示了。

• 例子：
  

  A=⎡⎣⎢100230330⎤⎦⎥ ，则 S=span⎡⎣⎢⎡⎣⎢100⎤⎦⎥,⎡⎣⎢230⎤⎦⎥⎤⎦⎥ 是 R3 的子空间，同时 S 还具有其他基。

四个基本的子空间

（1）列空间： C(A) 是 Rm (not Rn ) 的子空间。

• 定义：包含所有列的线性组合，即 C(A)={y=Ax,x∈Rn}
  

A=⎡⎣⎢142033⎤⎦⎥ ， C(A)=span⎡⎣⎢⎡⎣⎢142⎤⎦⎥,⎡⎣⎢033⎤⎦⎥⎤⎦⎥ ，构成一个 R3 的子空间。

如图5

---

（2） 零空间： N(A) 是 Rn (not Rm ) 的子空间。

• 定义： N(A) 包含 Ax=0 的所有解的集合。
• 注意： Ax=b 的解并不形成一个子空间。
• 例子：求 A 的零空间的基
  

A=[132826416]→U=[10222044] 经过初等变化
即 Ux=0 ，于是有 s1=⎡⎣⎢⎢⎢0−201⎤⎦⎥⎥⎥ ， s2=⎡⎣⎢⎢⎢−2010⎤⎦⎥⎥⎥ ；
因此 N(A)=C⎛⎝⎜⎜⎜⎡⎣⎢⎢⎢0−201⎤⎦⎥⎥⎥,⎡⎣⎢⎢⎢−2010⎤⎦⎥⎥⎥⎞⎠⎟⎟⎟ ，是 R4 的子空间。

---

（2） 行空间： N(A) 是 Rn (not Rm ) 的子空间。

待续。。。