数论小知识点总结

∑mi=1gcd(m,i)=∑d|md×ϕ(md) ∑ i = 1 m g c d ( m , i ) = ∑ d | m d × ϕ ( m d )

证明：

因为 gcd(m,i) g c d ( m , i ) 的结果只可能是 m m 的因数，所以 i i 从 1 1 到 m m 的 gcd(m,i) g c d ( m , i ) 的和，也就是所有能整除 m m 的数 d d 乘以 gcd(m,i)=d g c d ( m , i ) = d 的个数 的和。

至于为什么 gcd(m,i)=d g c d ( m , i ) = d 的个数是 ϕ(md) ϕ ( m d ) 个，
我们可以这样想：
我们的问题就是求满足 gcd(m,p∗d)=d g c d ( m , p ∗ d ) = d (1<=p<=md) ( 1 <= p <= m d ) 的 p p 有多少个。
将 m m 分成两部分 d d 和 (md) ( m d ) ， 则 gcd(md∗d,p∗d)=d g c d ( m d ∗ d , p ∗ d ) = d ，可得 gcd(md,p)=1 g c d ( m d , p ) = 1 ，即 p p 与 (md) ( m d ) 互素。 或者可以用反证的思路想， p p 必然要与 m m 刨除 d d 后剩下的部分即 (md) ( m d ) 互素，因为若 p p 与 (md) ( m d ) 不互素，即 gcd(p,md)=k g c d ( p , m d ) = k ， 则 gcd(m,p∗d)=k∗d≠d g c d ( m , p ∗ d ) = k ∗ d ≠ d ， 所以 p p 与 (md) ( m d ) 互素。 p p 的个数即欧拉函数 ϕ(md) ϕ ( m d ) 。