BZOJ4767：两双手 （组合数学+DP+容斥原理）

题目传送门：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4767

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题目分析：一开始看题目名还以为是两只手，后来感觉有些不对劲……

题面保证了给出的两个向量叉积为0，就是说它们不平行。不平行的两个向量可以作为一组基底，这样原先平面上的所有点就获得了一个新坐标。于是问题变成了：从(0,0)走到(n,m)，中间不能经过指定的k个点，求方案数。

也许我做子集反演的题目做多了，居然只想到 2k 2 k 的方法。后来看了题解发现原来是个很简单的DP。记 f[i] f [ i ] 表示从(0,0)走到i号障碍点，中间不经过其它障碍点的方案数，这可以用组合数减去不合法的方案数求得。而不合法的方案必然存在第一个遇到的非i号障碍点j，于是有：

f[i]=g(0,i)−∑j.x≤i.x,j.y≤i.yf[j]∗g(j,i) f [ i ] = g ( 0 , i ) − ∑ j . x ≤ i . x , j . y ≤ i . y f [ j ] ∗ g ( j , i )

其中g(i,j)表示第i个点到第j个点的方案数。

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CODE：

#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=550;
const int maxm=1000000;
const long long M=1000000007;
typedef long long LL;

struct data
{
    int X,Y;
} point[maxn];
LL f[maxn];
int cnt;

LL fac[maxm];
LL nfac[maxm];

int tx,ty;
int ax,ay,bx,by,tp;
int n;

bool Work(int &u,int &v)
{
    int q=u*ay-v*ax;
    if ( !tp || q%tp ) return false;
    q/=tp;
    int p;
    if (ax)
    {
        p=u-q*bx;
        if (p%ax) return false;
        p/=ax;
    }
    else
    {
        if (!ay) return false;
        p=v-q*by;
        if (p%ay) return false;
        p/=ay;
    }
    if ( p<0 || q<0 ) return false;
    u=p;
    v=q;
    return true;
}

bool Comp(data x,data y)
{
    return x.Xint nn,int mm)
{
    LL val=fac[nn];
    val=val*nfac[nn-mm]%M;
    val=val*nfac[mm]%M;
    return val;
}

int main()
{
    freopen("hands.in","r",stdin);
    freopen("hands.out","w",stdout);

    scanf("%d%d%d",&tx,&ty,&n);
    scanf("%d%d%d%d",&ax,&ay,&bx,&by);

    tp=bx*ay-by*ax;
    if ( !Work(tx,ty) )
    {
        printf("0\n");
        return 0;
    }

    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        if ( !Work(u,v) ) continue;
        if ( u>tx || v>ty ) continue;
        cnt++;
        point[cnt].X=u;
        point[cnt].Y=v;
    }

    cnt++;
    point[cnt].X=tx;
    point[cnt].Y=ty;
    sort(point+1,point+cnt+1,Comp);

    fac[0]=1;
    for (LL i=1; i1]*i%M;
    nfac[0]=nfac[1]=1;
    for (LL i=2; ifor (int i=1; i1]*nfac[i]%M;

    for (int i=1; i<=cnt; i++)
    {
        f[i]=C(point[i].X+point[i].Y,point[i].X);
        for (int j=1; jint dx=point[i].X-point[j].X;
            int dy=point[i].Y-point[j].Y;
            LL temp=0;
            if ( dx>=0 && dy>=0 ) temp=f[j]*C(dx+dy,dx)%M;
            f[i]=(f[i]-temp+M)%M;
        }
    }
    printf("%I64d\n",f[cnt]);

    return 0;
}