高等数学（上）（第七版 同济大学） 笔记 ：映射

第一章     函数与极限

第一节  映射与函数

一、映射

1、定义：两个非空集合X，Y，存在法则 f，使X中每个元素 x 按照法则 f 都有唯一确定的 y 与之对应，那么 f 称为从X到Y的映射，

记作： f :  X Y  。

元素 y 称为元素 x（在映射 f 下）的像，记做 f (x)  , 所有元素的像组成的集合称为映射 f 的值域，记为 Rf 或 f （X）

元素 x 称作元素 y （在映射 f 下）的原像。

理解：

（1）法则 f 称为一个映射。

（2）要求X中的每个元素在Y中都有对应，所以映射 f 的定义域为 X。

（3）并未说明Y中元素都有原像，所以值域 f (X)  Y 。 

2、单射：如果Y中的像，在所有情况下只对应一个 x 。即，x1 ！= x2 时， f (x1) != f (x2)时， 这个映射成为单射。

      单射时一个 y 对应一个 x，一个 x 也 对应一个 y , 因此从单射可以 得到一个新映射  g :  Rf  X 。  

      映射g 叫做映射 f 的逆映射。

3、两个映射

    g :  X Y1  ，  f  :  Y2    Z ,   Y1 包含于Y2，  则对于集合X中每个元素在集合Z中都可以找到唯一确定的元素，则可以得到一个新的映射，成为 f 与 g 的复合映射，记做  f 。g  即：

f 。g ： X Z         ( f 。g)(x)   =  f [ g ( x )]  

如果 f (x) =  , g(x) = sinx ,  则两者复合成的映射为  f [g(x)]  =    =  。

理解：

（1）由单射可得到逆映射，逆映射的条件是映射为单射，单射这种映射的 x ,y 互相一 一对应。

（2）复合映射条件是其中一个映射的值域包含在另一个映射 f  的定义域内，f 作为复合映射的外围映射。

（3）逆映射和复合映射的概念可以帮助理解逆函数和复合函数。