扩展欧几里得算法及贝祖定理的证明

欧几里得算法

公式表述：$$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$
证明：
$a$ 可以表示为 $a=kb+r，r=a\%b$
假设 $d$ 是 $(a,b)$ 的一个公约数，则有
$d|a，d|b$，而 $r=a–kb$，因此 $d|r$
所以 $d$ 也是 $(b,a\%b)$ 的公约数。

除了上面这个经典算法，还有 stein 算法用来求解最大公约数，只有整数的移位和加减法，比欧几里得算法在大整数上更有优势，可以去了解一下。

扩展欧几里得算法求解贝祖等式

贝祖定理（一般形式）

对于不全为 0 的自然数 $a，b$，则必然存在整数 $x，y$ （不唯一）满足等式$$ax+by=gcd(a,b)$$

上面的等式就称做贝祖等式。

扩展欧几里得算法能够求解贝祖等式的正确性证明

设 $a>b$

1. 当 $b=0$ 时，$gcd(a,b)=a$
   贝祖等式即 $ax=a$，解得 $x=1，y$ 可以取 $y=0$
2. 当 $b>0$ 时，
   假设 $a，b$ 的贝祖等式的解为$x_1，y_1$，即$a\cdot x_1+b\cdot y_1=gcd(a,b)\cdots \cdots 1$
   $b，a\%b$ 的贝祖等式的解为$x_2，y_2$，即$b\cdot x_2+a\%b\cdot y_2=gcd(b,a\%b)\cdots \cdots 2$
   由欧几里得算法可知$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
   故$a\cdot x_1+b\cdot y_1=b\cdot x_2+a\%b\cdot y_2$
   即$a\cdot x_1+b\cdot y_1=b\cdot x_2+(a-\lfloor a/b\rfloor \cdot b)\cdot y_2=a\cdot y_2+b\cdot (x_2-\lfloor a/b\rfloor \cdot y_2)$
   由恒等关系可得$$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_2\\ y_1=x_2-\lfloor a/b\rfloor \cdot y_2\end{array}$$即贝祖等式 1 的解可以由 贝祖等式 2 的解得到，这是一个递归求解的过程，并且随着对 $a，b$ 进行辗转相除，贝祖等式的系数会越来越小，直至变为情况1，而情况1贝祖等式的解是有具体的值的，即 $x=1，y=0$。然后进行回溯计算，最终可以得到$x_1，y_1$。
   C++代码如下：

\\exGcd函数返回a，b最大公约数。贝祖等式的整数解为引用参数x，y
int exGcd(int a, int b, int& x, int& y){
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int r = exGcd(b,a%b,x,y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - a/b*y;
	return r;
}

贝祖定理（更原始形式）的证明

若整数 $a，b$ 互质，则存在整数解 $x，y$ 满足 $ax+by=1$

证明：
设$X，Y$分别是使得$aX+bY>0$的整数集合，
令$s=min\{aX+bY\}>0$，假设此时 $X=x_1，Y=y_1$
则有$a{x}_1+b{y}_1=s$
假设 $a$ 除以 $s$ 的商为 $k$，余数为 $r(0\le r<s)$
则有$r=a-ks=a-k(a{x}_1+b{y}_1)=a(1-k{x}_1)+b(-k{y}_1)$
但是因为其中$1-k{x}_1,-k{y}_1\in Z$，所以必须有$r=0$
否则$r<s$与假设$s=min\{aX+bY\}>0$矛盾
故$s|a$，同理可得$s|b$
即 $s$ 为 $a，b$ 的公约数，又 $a，b$ 互质
所以有$s=1$
即存在整数$x，y$使得$a\cdot x+b\cdot y=1$成立。