Given a1, a2, ..., an, find
modulo (109+7).
The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
The first line of each test case contains an integer n.
The second line contains n integers a1, a2, ..., an.
For each test case, print an integer which denotes the result.
示例1
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2
1 2
5
2 3 3 3 3
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3
453
* 1 ≤ n ≤ 1000
* 1 ≤ ai ≤ 109
* The number of test cases does not exceed 10.
题目大意:就是按题目所给的式子求出最后的值,答案对1e9+7取模
题目思路:由于每个数a[i]的顺序对最后的结果没有影响,所以我们可以先把数组按照数从小到大排序。
接下来对于最大值 对最终的答案的贡献,对于所有的
,
再考虑a[i]~a[n]这一部分,因为此时要使x对结果产生贡献,所以i~n的取值只能在[1,x]之间取,同时最少有一个数取到x这个值
根据容斥的原理,减掉选2个x的,加上选3个x的...所以这部分所产生的贡献为
表示从最后的n-i+1个数中选出j个数的值为x,剩下的n-i+1-j个数再在[1,x]内任意取值
通过多项式展开式,这个式子可以转化为
那么通过x对最终答案的贡献就为,那么对于任意
对答案的总贡献为
其中可以借助杜教的拉格朗日插值板子求出来(杜教太强辣,orz
#include
#define fi first
#define se second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define pb push_back
#define MP make_pair
#define FIN freopen("in.txt","r",stdin)
#define fuck(x) cout<<"["<pii;
const int MX=1000+7;
const ll mod=1e9+7;
namespace polysum {
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i=a;i--)
const int D=2010;
ll a[D],f[D],g[D],p[D],p1[D],p2[D],b[D],h[D][2],C[D];
ll powmod(ll a,ll b){ll res=1;a%=mod;assert(b>=0);for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
ll calcn(int d,ll *a,ll n) { // a[0].. a[d] a[n]
if (n<=d) return a[n];
p1[0]=p2[0]=1;
rep(i,0,d+1) {
ll t=(n-i+mod)%mod;
p1[i+1]=p1[i]*t%mod;
}
rep(i,0,d+1) {
ll t=(n-d+i+mod)%mod;
p2[i+1]=p2[i]*t%mod;
}
ll ans=0;
rep(i,0,d+1) {
ll t=g[i]*g[d-i]%mod*p1[i]%mod*p2[d-i]%mod*a[i]%mod;
if ((d-i)&1) ans=(ans-t+mod)%mod;
else ans=(ans+t)%mod;
}
return ans;
}
void init(int M) {
f[0]=f[1]=g[0]=g[1]=1;
rep(i,2,M+5) f[i]=f[i-1]*i%mod;
g[M+4]=powmod(f[M+4],mod-2);
per(i,1,M+4) g[i]=g[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll polysum(ll m,ll *a,ll n) { // a[0].. a[m] \sum_{i=0}^{n-1} a[i]
ll b[D];
for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=a[i];
b[m+1]=calcn(m,b,m+1);
rep(i,1,m+2) b[i]=(b[i-1]+b[i])%mod;
return calcn(m+1,b,n-1);
}
ll qpolysum(ll R,ll n,ll *a,ll m) { // a[0].. a[m] \sum_{i=0}^{n-1} a[i]*R^i
if (R==1) return polysum(n,a,m);
a[m+1]=calcn(m,a,m+1);
ll r=powmod(R,mod-2),p3=0,p4=0,c,ans;
h[0][0]=0;h[0][1]=1;
rep(i,1,m+2) {
h[i][0]=(h[i-1][0]+a[i-1])*r%mod;
h[i][1]=h[i-1][1]*r%mod;
}
rep(i,0,m+2) {
ll t=g[i]*g[m+1-i]%mod;
if (i&1) p3=((p3-h[i][0]*t)%mod+mod)%mod,p4=((p4-h[i][1]*t)%mod+mod)%mod;
else p3=(p3+h[i][0]*t)%mod,p4=(p4+h[i][1]*t)%mod;
}
c=powmod(p4,mod-2)*(mod-p3)%mod;
rep(i,0,m+2) h[i][0]=(h[i][0]+h[i][1]*c)%mod;
rep(i,0,m+2) C[i]=h[i][0];
ans=(calcn(m,C,n)*powmod(R,n)-c)%mod;
if (ans<0) ans+=mod;
return ans;
}
}
int n;
ll a[MX],b[MX][MX],ans,tmp;
void init(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
b[i][j]=(j*(polysum::powmod(j,n-i+1)-polysum::powmod(j-1,n-i+1))%mod+mod)%mod;
}
}
int main(){
polysum::init(MX);
while(~scanf("%d",&n)){
init();
ans=0;tmp=1;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(a[i]==a[i-1]) continue;
ans=(ans+tmp*(polysum::polysum(n-i+1,b[i],a[i]+1)-polysum::polysum(n-i+1,b[i],a[i-1]+1))%mod+mod)%mod;
tmp=(tmp*a[i])%mod;
}
printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}
return 0;
}