【数学】矩阵的意义：线性变换

变换：

• 假设$x$为n维列向量，$y$维m维列向量，$A$维m×n的矩阵。有下面公式成立：$$Ax=y$$
• 在上面式子中，我们可以将矩阵$A$看作是$R^n\to R^m$的一个函数(变换)，他将n维向量空间中的向量($x$)映射到m维向量空间中($y$)。$R^n$为函数的定义域，$R^m$为函数的值域
• 展开：$$x=[x_1,x_2,\dots ,x_n]$$$$A=[{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n]$$$${\xi }_i=[{\xi }_i^1,{\xi }_i^2,\dots ,{\xi }_i^m]$$则：$$Ax=x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2+\cdots +x_n{\xi }_n$$
• 由展开式我们知道，矩阵$A$构成函数的值域，是由$A$的列向量张成的线性空间。

线性变换：

• 线性变换是一类满足线性条件的变换。所谓的线性条件就是：$$T(u+v)=T(u)+T(v)$$$$T(cu)=cT(u)$$
• 假设$n$维空间的标准正交基维：$$[e_1,e_2,\dots ,e_n]$$$$e_i=[0,0,\dots ,1,\dots ,0]\in R^n$$则$x$表示为：$$x=x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_n{e}_n$$
  经过线性变换$T$变换：$$T(x)=T(x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_n{e}_n)$$$$=x_{1}T(e_1)+x_{2}T(e_2)+\cdots +x_{n}T(e_n)$$$$=[T(e_1),T(e_2),\dots ,T(e_n)][x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^T$$
• 令：$$A=[T(e_1),T(e_2),\dots ,T(e_n)]$$$$T(x)=Ax$$
• 线性变换$T$可以理解为一个向量函数$f(x)=y$，$x$为n维向量，$y$为n维向量。$A^{m\times n}$被称为是线性变换T的标准矩阵。
• 总结：每个矩阵都对应着一个线性变换。

几何中的线性变换：

• 为了更好的说明线性变换的几何含义，我们在二维情况下进行说明，下面矩阵被称为 2 维平面上的旋转矩阵：$$A=\left[\begin{array}{cc}cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi \end{array}\right]$$
• 根据上面的推理有线性映射T与其对应：$$A=[T(e_1),T(e_2)]$$$$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}cos\phi \\ sin\phi \end{array}\right]$$$$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}-sin\phi \\ cos\phi \end{array}\right]$$$$e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$$$e_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$
• 可以看出矩阵$A$的变换就是一个旋转操作,旋转图如下：