[BZOJ1061] [NOI2008] 志愿者招募（最小费用最大流）

题目

传送门

题解

这道题可以说代表了一类题。这道题和最长k可重区间集问题的建图方法是非常像的，并且这种问题都有两种建图方法，下面我来介绍一下；
我们暂且把这种问题叫做“选择区间问题”（口胡）吧；我考虑到当前点选择在某一个区间里面，会对“过去”产生影响，也会对“未来”造成影响（个人理解）
第一种建图方法：把每一天都拆点，点 i 到 i+n 容量为inf-a[i]，费用为0，i+n到i+1连容量为inf，费用为c[i]的边，对于志愿者的工作时间 < x , y >从x向y+n连一条权INF费用为c[i]的边，最小费用最大流;
我们可以发现我们多连了一些多余的边；
下一种建图方法我把它叫做”在链上建图“：每一天向下一天的容量为inf-a[i]，费用为0，可以理解为连续工作是不需要额外花钱的，每一个志愿者工作的天数（x，y），从x连边向y+1，容量为inf费用为c[i];
容量的妙处在于优先选择连续工作，减了a[i]那么程序会”使劲“使它达到满流，这样的话就需要额外花钱。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn=1e6;
const int inf=1e9;
int read(){
    char ch=getchar(); int now=0,f=1;
    while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') {now=(now<<1)+(now<<3)+ch-'0'; ch=getchar();}
    return now*f;}

queue <int> q;
int n,m,day[maxn],maxflow,mincost;
struct Poe{
    int s,t,c;
}a[maxn];
struct Edge{
    int next,to,flow,dis;
}edge[maxn<<1];
int num_edge=-1,head[maxn],dis[maxn],flow[maxn],last[maxn],pre[maxn];
bool vis[maxn];

void add_edge(int from,int to,int flow,int dis)
{
    edge[++num_edge].next=head[from];
    edge[num_edge].flow=flow;
    edge[num_edge].dis=dis;
    edge[num_edge].to=to;
    head[from]=num_edge;
}
void add(int x,int y,int z,int f) {add_edge(x,y,z,f); add_edge(y,x,0,-f);}

bool spfa(int s,int t)
{
    memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
    memset(flow,0x7f,sizeof(flow));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    while (!q.empty()) q.pop();
    q.push(s); dis[s]=0; vis[s]=1; pre[t]=-1;
    while (!q.empty())
    {
        int now=q.front(); q.pop();
        vis[now]=0;
        for (int i=head[now]; i!=-1; i=edge[i].next)
        {
            int to=edge[i].to;
            if (edge[i].flow>0 && dis[to]>dis[now]+edge[i].dis)
            {
                dis[to]=dis[now]+edge[i].dis;
                flow[to]=min(flow[now],edge[i].flow);
                last[to]=i;
                pre[to]=now;
                if (!vis[to])
                {
                    vis[to]=1;
                    q.push(to);
                }
            }
        }
    }
    return pre[t]!=-1;
}

void MCMF(int s,int t)
{
    while (spfa(s,t))
    {
        int now=t;
        maxflow+=flow[t];
        mincost+=flow[t]*dis[t];
        while (now!=s)
        {
            edge[last[now]].flow-=flow[t];
            edge[last[now]^1].flow+=flow[t];
            now=pre[now];
        }
    }
}
void debug()
{
    for (int i=0; i<=num_edge; i++) printf("%d: %d %d %d %d\n",i,edge[i^1].to,edge[i].to,edge[i].flow,edge[i].dis);
    printf("\n");
}

int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read(); m=read();
    int S=0,T=n+2;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        int x=read(); add(i,i+1,inf-x,0);
    }
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        int s=read(); int t=read(); int c=read();
        add(s,t+1,inf,c);
    }
    add(S,1,inf,0); add(n+1,T,inf,0);
    MCMF(S,T);
    printf("%d\n",mincost);
    return 0;
}

总结

链上建图巧妙
容量减去一个值