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组合数 隔板法

隔板法是组合数学的一种重要思想
一般表现形式为把M个物品放入N个盒子里(N<=M)(LeTaX坏了TAT)
每个盒子里必须有至少一个物品
所有物品完全相同
求方案数
可以在逻辑上将物品放入一个一维的长盒子里
然后在任意两个物品之间插入隔板
那么我们可以将问题简化为在M-1个空位中插入N-1个隔板
从而将物品分为N份
结果为C(M-1,N-1)(aaaaaah,LaTeX爆了)
闹心
LaTeX爆了
下面我们考虑一种特殊情况
如果每个盒子可以都不放物品，且物品可以不放完
那么方案数怎么算？
首先我们需要一个多余的盒子来装所有没被放的物品
这样就不会有物品不在盒子内
然后我们还需有多余的N+1个物品
使得所有原有物品都放在多余的那个盒子里时，保证其他盒子里至少有一个物品
即保证每个盒子里最少有一个物品
那么现在有N+M+1个物品，N+1个盒子
方案数为C(N+M,N)

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