bzoj 1042: [HAOI2008]硬币购物(DP+容斥)

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思路

简单的容斥

如果没有限制,就是个完全背包

有限制,答案就是无限制-超限1个+超限两个-超限三个+超限四个。没错这就是小学学过的容斥。

有一个公式,若

f(S)=TSg(T)


g(S)=TS(1)|T||S|f(T)

在这题里,f(S)表示集合S里的硬币超限,其他随便的方案数,g(S)表示只有集合S超限的方案数。听说这货还有一个厉害的名字:子集反演

要求的是g(∅)。于是用f去算。f(S)就是强行让S中的硬币先取d[i]+1个然后随便取的方案,随便取的方案通过完全背包提前算出。


代码

#include 
#define maxn 100100

using namespace std;
typedef long long LL;

int c[5], d[5], s, tot;
LL f[maxn], g[maxn];

int main(){

    for(int i = 1; i <= 4; i++)  scanf("%d", &c[i]);
    scanf("%d", &tot);

    f[0] = 1LL;
    for(int i = 1; i <= 4; i++)
        for(int j = c[i]; j < maxn; j++)
            f[j] += f[j-c[i]];

    while(tot --){

        for(int i = 1; i <= 4; i++)  scanf("%d", &d[i]);
        scanf("%d", &s);

        LL ans = 0LL;
        for(int i = 0; i < (1<<4); i++){
            int cnt = 0, rest = s;
            for(int j = 1; j <= 4; j++)
                if((1<<(j-1)) & i)  rest -= c[j] * (d[j] + 1), cnt ++;

            if(rest < 0)  continue;

            if(cnt & 1)  ans -= f[rest];
            else  ans += f[rest];
        } 
        printf("%lld\n", ans);
    }

    return 0;
} 

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