数论基础知识
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欧拉函数
欧 拉 函 数 : 小 于 n 的 正 整 数 中 与 n 互 质 的 数 的 数 目 , φ ( 1 ) = 1 欧拉函数:小于n的正整数中与n互质的数的数目,\varphi(1)=1 欧拉函数:小于n的正整数中与n互质的数的数目,φ(1)=1,通式： φ ( x ) = x ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) \varphi(x)=x\displaystyle\prod^n_{i=1}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) φ(x)=xi=1∏n(1−pi1)
x = p 1 a 1 ⋯ p n a n 为 x 的 标 准 分 解 x=p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}为x的标准分解 x=p1a1⋯pnan为x的标准分解
性质:
- 若 n 是 素 数 , 有 φ ( n ) = n − 1 若n是素数 , 有\varphi(n)=n−1 若n是素数,有φ(n)=n−1
- n > 2 , φ ( n ) 是 偶 数 n>2,\varphi(n)是偶数 n>2,φ(n)是偶数
- 若 a 是 素 数 且 n 不 是 a 倍 数 , 有 φ ( n ∗ a ) = φ ( n ) ∗ ( a − 1 ) 若a是素数且n不是a倍数 , 有\varphi(n∗a)=\varphi(n)*(a−1) 若a是素数且n不是a倍数,有φ(n∗a)=φ(n)∗(a−1)
- 若 a 是 素 数 且 n m o d a = 0 , 有 φ ( n ∗ a ) = φ ( n ) ∗ a 若a是素数且n\ mod\ a=0 , 有\varphi(n∗a)=\varphi(n)∗a 若a是素数且n mod a=0,有φ(n∗a)=φ(n)∗a
- 若 g c d ( n , m ) = 1 , 有 φ ( m ∗ n ) = φ ( m ) ∗ φ ( n ) ( 积 性 函 数 ) 若gcd(n,m)=1 , 有\varphi(m∗n)=\varphi(m)∗\varphi(n)(积性函数) 若gcd(n,m)=1,有φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)(积性函数)
- 若 n 是 奇 数 , 有 φ ( 2 ∗ n ) = φ ( n ) 若n是奇数 , 有\varphi(2∗n)=\varphi(n) 若n是奇数,有φ(2∗n)=φ(n)
- 若 n 和 m 是 素 数 , 有 φ ( n ∗ m ) = n ∗ m − 1 若n和m是素数 , 有\varphi(n∗m)=n∗m−1 若n和m是素数,有φ(n∗m)=n∗m−1
- 若 p 是 素 数 , 有 φ ( p q ) = p q − p q − 1 若p是素数 , 有\varphi(p^q)=p^q−p^{q−1} 若p是素数,有φ(pq)=pq−pq−1
- ∑ d ∣ m φ ( d ) = m d 为 m 的 所 有 正 约 数 \displaystyle\sum_{d|m}\varphi(d)=m\quad d为m的所有正约数 d∣m∑φ(d)=md为m的所有正约数
#include 著名数论定理
欧拉定理
T h e o r e m : 设 g c d ( a , m ) = 1 , 则 a φ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ) {\bf Theorem: }设gcd(a,m)=1,则a^{\varphi(m)}\equiv1(mod\ m) Theorem:设gcd(a,m)=1,则aφ(m)≡1(mod m)
费马小定理
T h e o r e m : 设 p 是 素 数 , p ∤ a , 则 a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) {\bf Theorem:}设p是素数,p\nmid a,则a^{p-1}\equiv1(mod\ p) Theorem:设p是素数,p∤a,则ap−1≡1(mod p)
对 于 素 数 p ， 任 取 跟 其 互 素 的 数 a ， 有 a p − 1 ( m o d p ) = 1 所 以 任 取 b ， 有 a b % p = a b % ( p − 1 ) ( % p ) 从 而 简 化 运 算 。 对于素数p，任取跟其互素的数a，有a^{p-1}(mod\ p)=1\\ 所以任取b，有a^b\%p=a^{b\%(p-1)}(\%p)从而简化运算。 对于素数p，任取跟其互素的数a，有ap−1(mod p)=1所以任取b，有ab%p=ab%(p−1)(%p)从而简化运算。
威尔逊定理
T h e o r e m : 设 p 是 素 数 , 则 ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) {\bf Theorem:}设p是素数,则\left(p-1\right)!\equiv-1(mod\ p) Theorem:设p是素数,则(p−1)!≡−1(mod p)
中国剩余定理
T h e o r e m : 对 于 两 两 互 质 的 m i , 同 余 方 程 组 { x ≡ r 1 ( m o d m 1 ) x ≡ r 2 ( m o d m 2 ) ⋮ x ≡ r n ( m o d m n ) 的 解 为 x ≡ ∑ i = 1 n r i M i M i ‘ ( m o d M ) , 其 中 M = ∏ i = 1 n m i , M i = M m i , M i ‘ ≡ M i − 1 ( m o d m i ) {\bf Theorem:}对于两两互质的m_i,同余方程组\begin{cases} x\equiv r_1\quad(mod\ m_1)\\ x\equiv r_2\quad(mod\ m_2)\\ \vdots\\ x\equiv r_n\quad(mod\ m_n) \end{cases}的解为\\ x\equiv\sum_{i=1}^nr_iM_iM_i^`(mod\ M),其中M=\prod_{i=1}^nm_i,M_i=\frac{M}{m_i},M_i^`\equiv M_i^{-1}\ (mod\ m_i) Theorem:对于两两互质的mi,同余方程组⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x≡r1(mod m1)x≡r2(mod m2)⋮x≡rn(mod mn)的解为x≡i=1∑nriMiMi‘(mod M),其中M=i=1∏nmi,Mi=miM,Mi‘≡Mi−1 (mod mi)
例 : 例: 例:POJ2891
#define ll long long
ll a[MAX_N], b[MAX_N];
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
if(!b) x=1, y=0;
else {
exgcd(b, a % b, x, y);
y -= a / b * y;
}
}
ll crt()
{
ll ans = 0, lcm = 1, x, y;
for(ll i = 0; i < k; ++i) lcm *= b[i];
for(ll i = 0; i < k; ++i) {
ll t = lcm / b[i];
exgcd(t, b[i], x, y);
x = (x % b[i] + b[i]) % b[i];
ans = (ans + t * x * a[i]) % lcm;
}
return (ans + lcm) % lcm;
}- 拓 展 中 国 剩 余 定 理 ( m i 不 一 定 两 两 互 质 ) : 拓展中国剩余定理(m_i不一定两两互质): 拓展中国剩余定理(mi不一定两两互质):
例 : 例: 例:Luogu P4777
同余
-
g c d ( a , b ) = g c d ( a , b − a ) = g c d ( a , b m o d a ) gcd(a,b)=gcd(a,b-a)=gcd(a,b\ mod\ a) gcd(a,b)=gcd(a,b−a)=gcd(a,b mod a)
-
a ⋅ b = g c d ( a , b ) ⋅ l c m ( a , b ) a\cdot b=gcd(a,b)\cdot lcm(a,b) a⋅b=gcd(a,b)⋅lcm(a,b)
-
扩 展 欧 几 里 得 算 法 ( 贝 祖 ( B e z o u t ) 定 理 ) : 存 在 整 数 下 x , y ， 使 得 a x + b y = g c d ( a , b ) 扩展欧几里得算法\left(贝祖\left(Bezout\right)定理\right):存在整数下x,y，使得ax+by=gcd(a,b) 扩展欧几里得算法(贝祖(Bezout)定理):存在整数下x,y，使得ax+by=gcd(a,b)
b = 0 时 , g c d ( a , b ) = a , x = 1 , y = 0 , 否 则 a x 1 + b y 1 = g c d ( a , b ) , b x 2 + ( a m o d b ) y 2 = g c d ( b , a m o d b ) = g c d ( a , b ) a x 1 + b y 1 = a x 2 + ( a − [ a b ] b ) y 2 = a y 2 + b ( x 2 − [ a b ] y 2 ) 故 x 1 = y 2 , y 1 = x 2 − [ a b ] y 2 b=0时,gcd(a,b)=a,x=1,y=0,否则\\ax_1+by_1=gcd(a,b),\quad bx_2+(a\ mod\ b)y_2=gcd(b,a\ mod\ b)=gcd(a,b)\\ax_1+by_1=ax_2+(a-[\frac{a}{b}]b)y_2=ay_2+b(x_2-[\frac{a}{b}]y_2)\\故x_1=y_2,y_1=x_2-[\frac{a}{b}]y_2 b=0时,gcd(a,b)=a,x=1,y=0,否则ax1+by1=gcd(a,b),bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)=gcd(a,b)ax1+by1=ax2+(a−[ba]b)y2=ay2+b(x2−[ba]y2)故x1=y2,y1=x2−[ba]y2
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
else {
ll g = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return g;
}
}- 逆 元 : x 是 a 的 逆 元 , a x ≡ 1 ( m o d p ) 逆元:x是a的逆元,ax\equiv1(mod\ p) 逆元:x是a的逆元,ax≡1(mod p)
#define ll long long
//拓展欧几里得求逆元 o(logn)
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
if(!b) x = 1, y = 0;
else {
exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
}
}
ll inv(ll a, ll b)
{
ll x, y;
exgcd(a, b, x, y);
return (x + b) % b;
}
//费马小定理求逆元 o(logn)
ll qpow(ll a, ll n, ll p)
{
ll ans = 1;
for(; n; n >>= 1, a = a * a % p)
if(n & 1) ans = ans * a % p;
}
ll inv(ll a, ll b)
{
return qpow(a, b - 2, b);
}例 : 例: 例:Luogu P2613
素数
素 数 定 理 : lim n → ∞ π ( n ) n / ln n 素数定理:\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n/\ln n} 素数定理:n→∞limn/lnnπ(n)
- 素 数 筛 ( 粗 略 ) 素数筛(粗略) 素数筛(粗略)
#include - 线 性 筛 线性筛 线性筛
const int MAX_N = 1e5;
int prime[MAX_N], cnt;
bool check[MAX_N];
void sieve(){
for (int i = 2;i <= MAX_N; ++i){
if(!check[i]) prime[++cnt] = i;
for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= MAX_N; ++j) {
check[prime[j] * i] = true;
if(i % prime[j] == 0) break; //重点
}
}
}
- M i l l e r − R a b i n 算 法 : 素 数 测 试 Miller-Rabin算法:素数测试 Miller−Rabin算法:素数测试
#include 数论计数问题
- 约 数 : 对 n 的 标 准 分 解 式 n = p 1 a 1 ⋯ p n a n , n 的 正 约 数 个 数 为 ∏ i = 1 n ( a i + 1 ) 约数:对n的标准分解式n=p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n},n的正约数个数为\displaystyle\prod_{i=1}^n(a_i+1) 约数:对n的标准分解式n=p1a1⋯pnan,n的正约数个数为i=1∏n(ai+1)
- 勒 让 德 定 理 ： 在 正 数 n ! 的 素 因 子 标 准 分 解 式 中 ， 素 数 p 的 最 高 指 数 为 ( n ! ) = ∑ m = 1 ∞ [ n p m ] 勒让德定理：在正数n!的素因子标准分解式中，素数p的最高指数为(n!)=\displaystyle\sum_{m=1}^\infty\left[\frac{n}{p^m}\right] 勒让德定理：在正数n!的素因子标准分解式中，素数p的最高指数为(n!)=m=1∑∞[pmn]
根 据 勒 让 德 定 理 计 算 C n k m o d p 根据勒让德定理计算C_n^k\ mod\ p 根据勒让德定理计算Cnk mod p