RMQ问题 —— Sparse-Table算法

RMQ引子：

　　我们都知道求一个数组的最小值，可以用很朴素的O(n)级别的算法来求解。

　　那么，如果现在是求一个数组的任意连续子数组的最小值呢？假设询问Q次，那么总的时间复杂度为O(Q*n)，时间开销很高！这就是今天所要介绍的RMQ问题（Range Minimum Query）。

　　然而，如果使用一些分治的思想，可以大大简化时间复杂度。

Sparse-table算法：

　　我们在求一个区间的最小值时，可以把问题一分为二，求左半边数组的最小值MIN_left，右半边数组的最小值MIN_right，然后求二者的最小值即可！

MIN_left和MIN_right怎么求呢？同样用刚才分而治之的思想，继续分下去。最后，一定可以分到数组仅有一个元素的朴素情况。

　　我们定义dp[i][j]为：以下标i开头，长度为2^j的数组的最小值，则：

　　dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i+2^j-1][j-1])

适用情形：

sparse-table适用于：

　　1. 只需要查询区间最大/小值

　　2. 但是，不需要对数组进行修改的问题

#include 
#include 

using namespace std;

const int MAXN = 1024;
const int MAXK = 10;
int d[MAXN][MAXK];
int n;

void build()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &d[i][0]);
    }
    for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++) { 
        for(int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++) {
            d[i][j] = min(d[i][j - 1], d[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
        }
    }
}

int query(int l, int r) 
{
    int w = r - l + 1;
    int x = 0;
    while((1 << (x+1)) <= w)    ++x;  // 找到最大的不超过w的2xreturn min(d[l][x], d[r-(1<1][x]);
}

int main ()
{
    build();
    int l, r;
    while(cin >> l >> r) {
        cout << query(l, r) << endl;
    }
    return 0;    
}