每日一题(18)——买书问题（动态规划）

一，问题

      上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

        本数    2       折扣   5%

        本数    3       折扣  10%

        本数    4       折扣  20%

        本数    5       折扣  25% 

买书的需求一定，但通过不同的买书组合，能买到不同的折扣。

问题：设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。

 

二，问题分析：

 贪心策略

  当书的数目N<5时，直接按照折扣购买

  当书的数目N>5时，情况如下：

依此可以穷举出每一种组合的情况，对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析

先找出是所有书中5种不同的书，如果有则按照5本书折扣价购买

其次找出剩余书中所有4种书，如果有则按照4本书的折扣价购买

再找出剩余书中所有3种书，如果有则按照3本书的折扣价购买 

最后在剩余书中找出所有2种书，如果有则按照2本书的折扣价购买

剩下的书则按照全价购买。

       如果按照这种方法（贪心法）存在反例，比如买8本书时，可以拆成5+3，折扣为1.55；也可以拆成4+4，折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括，通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。

       结论：贪心策略不可取

动态规划

         要用动态规划解答首先要找到，动态规划的递归公式，因为动态规划是自顶向下层层递归，然后自底向下层层解答！最后根据底层结论求解最后结果。

        五卷书的价格相同都是8欧元，所以购买（1，0，0，0，0）跟（0，1，0，0，0）效果一样。这里就可以简化为，让所购买书按照本书递增（递减），从而方便讨论。

         要处理的参数为购买每种卷的个数，所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数，从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。

状态转移方程： 

                           （X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。其中，X1 < X2 < X3 < X4 < X5

                            F（X1，X2，X3，X4，X5）=0  ；当所有参数都为0的情况（这也是退出递归的出口）

                            F（X1，X2，X3，X4，X5）= min{

                                                                             5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //参数全部  > 0

                                                                            4*8*(1-20%) +F（X1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1）    //x2 > 0

                                                                             3*8*(1-10%) +F（X1，X2，X3-1，X4-1，X5-1）       //x3 > 0

                                                                            2*8*(1-5%) +F（X1，X2，X3，X4-1，X5-1）            //x4 > 0

                                                                            8 +F（X1，X2，X3，X4，X5-1）                                 //x5 > 0

                                                                             }

三，动态规划源码：

源码：

 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 #define random(x) (rand()%x)
 const int large = 10000;
 int countRE=0,countDP=0;//利用动态规划能少递归多少次，计数
 double S[10][10][10][10][10];

 template<typename T>
 void reRank(T m[], int length) //insert sort
 {
 //  for (int i=0; i
 //  cout<
     for (int i=1; i
     {
         T tmp=m[i];//很重要;
         int j;
         for ( j=i-1; j>=0&&tmp
         {
             m[j+1]=m[j];
         }
         m[j+1]=tmp;
     }
 //  for (int i=0; i
 }

 double findMin(double t1,double t2,double t3,double t4,double t5)
 {
     double n[5]={t1,t2,t3,t4,t5};
     reRank(n,5);
     return n[0];
 }

 double BestBuy(int x1, int x2, int x3, int x4, int x5)
 {
     countRE++;
     int i;
     int n[5] ={ x1, x2, x3, x4, x5 };
     reRank(n,5);
     x1=n[0];
     x2=n[1];
     x3=n[2];
     x4=n[3];
     x5=n[4];
     if(S[x1][x2][x3][x4][x5]>0) return S[x1][x2][x3][x4][x5];
     countDP++;
     /* x1 < x2 < x3 < x4  < x5*/
     if (n[0]>0)
     {
         double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
             2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
             3 * 8 *0.9 + BestBuy(x1, x2, x3-1, x4 - 1, x5 - 1),
             4 * 8 * 0.8 + BestBuy(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
             5 * 8 * 0.75 + BestBuy(x1-1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1) );
         S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
         return solution;
     }
     else if ((n[0] == 0) && (n[1] > 0))
     {
         double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
             2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
             3 * 8 *0.9 + BestBuy(x1, x2, x3-1, x4 - 1, x5 - 1),
             4 * 8 * 0.8 + BestBuy(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1), large );
         S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
         return solution;
     }
     else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) &&(n[2]>0))
     {
         double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
             2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
             3 * 8 *0.9 + BestBuy(x1, x2, x3-1, x4 - 1, x5 - 1), large, large );
         S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
         return solution;
     }
     else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] > 0))
     {
         double solution = findMin( 8+BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
             2 * 8 * 0.95 + BestBuy(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1), large, large, large );
         S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
         return solution;
     }
     else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] == 0) && (n[4] > 0))
     {
         double solution = 8.0 + BestBuy(x1, x2, x3, x4, x5 - 1);
         S[x1][x2][x3][x4][x5] = solution;
         return solution;
     }
     else
     {
         S[x1][x2][x3][x4][x5] =0;
         return 0;
     }
 }

 int main()
 {
     int N=5;
     int a[10];
     memset(S,0,sizeof(S));
     for(int i=0; i" ";}
     cout<
     cout<
     for(int i=0; i" ";
     cout<
     cout<<"递归次数： "<
     cout<<"动态规划 递归计算次数： "<
 }