2019 CCPC Wannafly Camp day3

自闭感受

参加Camp的第三天，上午是数据结构专题分享，dls 不打CF，分数可能比我们都低的2300分只打过三场的巨巨队友 wls来给我们讲的。比起昨天的数论专场，今天感觉好多了，懵逼少很多还能跟上节奏。wls是带着题目来给我们讲常见的数据结构运用，比如堆，并查集，线段树，平衡树等等。下午原本以为是数据结构专题训练，便戏耍的和lyy说下午你专场我回去了哈。结果下午题目比day1,day2还难，而且不是想象中的数据结构专题。一开始我便瞄到了F题，好眼熟！！！这不是莫比乌斯反演吗？就开始怼了。lyy开了D，结果这SB不会写，我先放了下F题，看了下G题发现G题是个签到题 (上面写的) 。我就叫他看G，然后我切回了我的F。一波推式子，发现思路可行就巴拉巴拉敲了起来，中间因为炸int问题wa了几发，SB了！队友G题比我先过了，确实是个签到题。最后有个乌龙，4点多的样子，队友和旁队的一起随机猜吧A题(因为只有2组数据，一共就1024种情况)，竟然A了，然后大喊了一声答案，果断一波A的AC流。不知道出题人看到会心咋想

感受：非常难得场上A出一道正儿八经的数论反演题，开森，同时发现队伍配合实在差，必须好好抓抓，不然要GG，尤其新人。

上题解（后期补题会更新其他能力范围内的题解）

F - 小清新数论

做法一：欧拉函数

#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
const int  maxn = 1e7+9;
const LL mod = 998244353;
LL phi[maxn],miu[maxn],fac[maxn];//phi--欧拉函数表  miu--莫比乌斯函数表  fac--i最大的素因子辅助打phi表
void init()
{
	for (int i = 1; i < maxn; ++i) fac[i] = i;
	phi[1] = miu[1] = 1;
	for (int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if (fac[i] == i)
			for (int j = i << 1; j < maxn; j += i)
				fac[j] = i;
		if (i / fac[i] % fac[i]) phi[i] = (fac[i] - 1)*phi[i / fac[i]], miu[i] = -miu[i / fac[i]]; //如果b质数  a%b！=0  phi(a*b) = phi(a)*b - phi(a)
		else phi[i] = fac[i] * phi[i / fac[i]], miu[i] = 0;										//当b是质数，a%b==0，phi(a*b)=phi(a)*b
	}
	for(int i=1;i<maxn;i++)phi[i]=phi[i]+phi[i-1];
}
int main(){
    init();
    LL n;
    cin>>n;
    LL NN=n;
    LL ans=0;
    for(LL i=1;i<=NN;i++){
        LL res=(phi[NN/i]*(LL)2-1)%mod;
        ans=(ans+miu[i]*res%mod)%mod;
        while(ans<0)ans+=mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

做法二：莫比乌斯反演

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
const int maxn=1e7+1;
ll phi[maxn],miu[maxn],vis[maxn];
void init(){
    for(int i=1;i<maxn;++i)vis[i]=i;
    phi[1]=miu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(vis[i]==i){
            for(int j=i<<1;j<maxn;j+=i)vis[j]=i;
        }
        if(i/vis[i]%vis[i])miu[i]= -miu[i/vis[i]];
        else miu[i]=0;
    }

    for(int i=1;i<maxn;i++)miu[i]=miu[i]+miu[i-1];
}
ll solve(int n,int m){
    ll ans=0;
    int N=min(n,m),r;
    for(int l =1;l<=N;l=r+1){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l)); //取分块小的数
        ll res=(miu[r]-miu[l-1]+mod)%mod*(n/l)%mod*(n/l)%mod;   //miu[r]-miu[l-1]表示l~r区间miu和，
        ans=(ans+res+mod)%mod;
    }
    return ans;
}
int main(){
    init();
    int n,r;
    scanf("%d",&n);
    ll ans=0,res;
    for(int l=1;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        res=(miu[r]-miu[l-1]+mod)%mod*solve(n/l,n/l)%mod;
        ans=(ans+res+mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

做法三：杜教筛能过div1，跑了1423ms，对做法一中欧拉函数前n项和，欧拉函数前n项和进行杜教筛，然后套一个分块求解

#include
#include
#include
#define INV2 499122177
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+20;
const int mod=998244353;
bool vis[N];
int mu[N],sum1[N];
long long phi[N],sum2[N];
int cnt,prim[N];
int e,e1;
tr1::unordered_map<long long,long long>w,w1;  //哈希 w用来求phi前缀和  w1用来求miu前缀和
void get(int maxn)
{
    phi[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prim[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0)
            {
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];
                break;
            }
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i],phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=maxn;i++)sum1[i]=sum1[i-1]+mu[i],sum2[i]=(sum2[i-1]+phi[i])%mod;   //打一个maxn的phi前缀和表 和miu前缀和表
}
int djsmu(long long x)	//	求miu前缀和
{
    if(x<=10000000)return sum1[x];
    if(w[x])return w[x];
    int ans=1;
    for(long long l=2,r;l<=x;l=r+1)
    {
        r=x/(x/l);
        ans-=(r-l+1ll)*djsmu(x/l);
    }
    return w[x]=ans;
}
long long djsphi(long long x)	//求phi 前缀和
{
    if(x<=10000000)return sum2[x];
    if(w1[x])return w1[x];
    long long ans=x%mod*(x+1)%mod*INV2%mod;
    for(long long l=2,r;l<=x;l=r+1)
    {
        r=x/(x/l);
        ans=(ans-(r-l+1)%mod*djsphi(x/l)+mod)%mod;
    }
    while(ans<0)ans+=mod;
    return w1[x]=ans%mod;
}
int main(){
    get(10000000);
    ll n,r;
    scanf("%lld",&n);
    ll ans=0,res;
    for(ll l=1;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        res=(ll)(djsmu(r)-djsmu(l-1)+mod)%mod*((djsphi(n/l)%mod*(ll)2%mod-1+mod)%mod)%mod;
        ans=(ans+res+mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

G - 排列

搞清楚每个数组都是干什么的。

• P 原数组
• Ap 前缀数组
• q Ap中第i大的位置（相同的先取左边，例如 AP={2，1， 1}，第1小的位置是2而不是3.）

现在题目给了q，可以根据q倒推出Ap，然后倒推出P

include<stdio.h>
#include
using namespace std;
const int maxn =1e5+10;
int a[maxn];
int q[maxn];
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int cnt=0;
    int pre=maxn+10;
    for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		if(a[i]>pre)
		q[a[i]]=cnt;
		else
		q[a[i]]=++cnt;
		pre=a[i];
    }
    cnt=q[1];
    printf("%d ",cnt);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(q[i]<q[i-1])
            printf("%d ",q[i]);
        else{
            printf("%d ",++cnt);

        }
    }
    return 0;
}