欧拉函数

欧拉函数φ

欧拉定理是用来阐述素数模下，指数同余的性质。

欧拉定理：对于正整数N，代表小于等于N的与N互质的数的个数，记作φ(N)

例如φ(8)=4，因为与8互质且小于等于8的正整数有4个，它们是：1,3,5,7
欧拉定理还有几个引理，具体如下：
①：如果n为某一个素数p，则φ§=p-1;

①很好证明：因为素数p的质因数只有1和它本身，p和p不为互质，所以φ§=p-1；

②：如果n为某一个素数p的幂次，那么φ(p ^ a) = (p-1) *p ^ (a-1)
②因为比p^{a小的数有p}a-1个，那么有p^{(a-1)-1个数能被p所整除（因为把1~p}a-1的p的倍数都筛去了）

所以φ§=p ^ a-1 - (p ^ (a-1)-1)=(p-1)*p ^ (a-1)

③：如果n为任意两个数a和b的积，那么φ(ab)=φ(a)φ(b)

③因为比ab小的数有ab-1个，条件是a与b互质

那么可以知道，只有那些既满足a与其互质且既满足b与其互质的数满足条件。

根据乘法原理，这样的数可以互相组合，那么就有φ(a)*φ(b)个

所以可以得知φ(a*b)=φ(a)*φ(b) (注意条件必须满足a和b互质)

*④：设n=(p1^ a1)(p2^a2) …… (pk^ak) (为N的分解式)

那么φ(n)=n* (1-1/p1) * (1-1/p2) * ……* (1-1/pk)

④因为各个分解完的p1、p2、……pk均为素数，所以它们均为互质的

每次再刨去它们本身，乘起来

剩下的运用容斥原理，再根据引理②和引理③就可以得出

欧拉定理：a^(φ(m))同余1(mod m) (a与m互质)

欧拉函数的线性筛法----------------------------------------

大家都知道素数的线性筛法吧，欧拉函数也有线性筛法，可以在线性时间内求出1~N的所有φ

有以下三条性质：
①：φ§=p-1
②：φ(pi)=pφ(i) （当p%i==0时）
③：φ(p*i)=(p-1)*φ(i) (当p%i!=0时)

那么筛法基本与素数筛相同。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int prime[100001],mark[1000001];//prime是素数数组，mark为标记不是素数的数组
int tot,phi[100001];//phi为φ(),tot为1~i现求出的素数个数
void getphi(int N){
    phi[1]=1;//φ(1)=1
    for(int i=2;i<=N;i++){//从2枚举到N
        if(!mark[i]){//如果是素数
            prime[++tot]=i;//那么进素数数组，指针加1
            phi[i]=i-1;//根据性质1所得
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++){//从现求出素数枚举
            if(i*prime[j]>N) break;//如果超出了所求范围就没有意义了
            mark[i*prime[j]]=1;//标记i*prime[j]不是素数
            if(i%prime[j]==0){//应用性质2
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//应用性质3
        }
    }
}
int N;
int main(){
    cin>>N;
    getphi(N);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        cout<<i<<":phi ( "<<phi[i]<<" )"<<endl;//输出phi(i)
    }
}

转自：https://blog.csdn.net/update7/article/details/70943545?utm_source=copy