运筹优化（十七）--存储论基础及其最优化求解

工厂为了生产, 必须储存一些原料 , 把这些储存物简称存储。生产时从存储中取出一定数量的原料消耗掉, 使存储减少。生产不断进行, 存储不断减少 , 到一定时刻必须对存储给以补充,否则存储用完了, 生产无法进行。

商店必须储存一些商品(即存储) ,营业时卖掉一部分商品使存储减少, 到一定的时候 又必须进货 , 否则库存售空无法继续营业。一般地说 , 存储量因需求而减少, 因补充而增加。

从存储模型来看大体上可分为两类 : 一类叫作确定性模型, 即模型中的数据皆为确定的数值 ; 另一类叫作随机性模型, 即模型中含有随机变量 , 而不是确定的数值。

确定性存储模型

不允许缺货的经济订购批量模型（模型一）

凡需求量R、提前订货时间t确定已知的模型为确定性存贮模型。总成本最小的订货批量，称为经济订货批量（Economic  Ordering  Quantity，EOQ），其模型称之为经济批量模型。首先介绍不允许缺货的订购批量存贮模型，并求出其最优存贮策略（即最优解）。

1．模型假设与存贮状态图

该模型的假设如下：

(1) 需求是连续的、均匀的，设需求速率为常数R；

(2) 当存储量降至0时，可立即得到补充，即供货速率A＝＋∞。

(3) 每次订货量为Q、订购费为CO，且都为常数。

(4) 单位存贮费Ch不变，没有安全存贮量的要求。

(5) 不允许缺货，即缺货损失费用率CS为无穷大。

存贮量的变化情况如图1所示。

存贮过程说明：每批定购物资量Q到达后立即入库，然后以每单位时间耗用R的速率输出，库存量逐渐减少，经过一个周期t正好用完，这时第二批物资恰好补充入库，不会出现短缺现象。考虑到物资需提前一定时间tL订购，当存贮量降到L时就应提出订购，L即为再订货点。

2．存储模型

    (1) 决策变量：该问题的决策变量就是每次订购量Q，由于问题是需求连续、均匀且不允许缺货，变量Q可以转化为变量t，即每隔t时间订购一次，订购量为Q＝Rt。

    (2) 目标函数：由于问题是线性的， 若t时间内平均费用最小，则总体平均费用就会最小。即目标函数f(t)为t时间内的平均总费用最小。先计算t时间里的总费用：

    ① 订货费＝订购费十货物成本费＝CO十KRt(其中K为货物单价)。

② 存贮费＝单位存储费×累计存贮量

一个周期t内的累计存量为：

， Q为一个周期内的最大库存量。

其几何意义就是图公式2中R斜线以下的三角形的面积。

单位存贮费用为 Ch(费用/件·时) ，一个周期t内的存贮费为：

则一个周期t内的总费用为：CO十KRt＋

③ 单位时间内的总存贮费（目标函数）为：

　　　     　　　　　　　 (公式1)

3．最优存贮策略

由公式1可以看到：单位时间内的订购费与订购周期t成反比，而单位时间内的存贮费与订购周期t成正比。我们可以找到一个最佳的订购周期t。

令：，得

最佳订购周期：

                                               (公式2)

最佳订购量：　　　　　　

   　　　　　　　　　　　　　　   (公式3)

再订货点：             

 （tL为提前订购时间）　　　　　　　　　　(公式4)

公式3为著名的经济订购批量(Economic  Ordering  Quantity) 公式。由于

与K 无关，所以以后在费用函数中略去KR 这一项。如无特殊要求，将不再考虑此项费用，所以公式1可以改写成:

    　　　　　　　　　　　　　　　　　　   (公式5)

把代入公式1，得最优单位时间的总存贮费：

           (公式6)

费用函数也可描述成订购批量Q的函数：，用图2描述，由费用函数曲线也可同样导出最佳。

按最优的经济订购批量，有：。从图2也可看出，当单位时间的存贮费与单位时间的订购费相等时的订购量为总存贮费率的最低点。

例1：某批发公司向附近200多家食品零售店提供货源，批发公司负责人为减少存储费用，选择了某种品牌的方便面进行调查研究，以制定正确的存储策略。调查结果如下：(1)方便面每周需求量为3000箱；(2)每箱方便面一年的存储费为6元，其中包括贷款利息3．6元，仓库费用、保险费用、损耗费用、管理费用等2.4元；(3)每次订货费为25元，其中包括：批发公司支付采购人员劳务费12元，支付手续费、电话费、交通费等13元；(1)方便面每箱价格为30元。假定订购提前期tL＝1天，试问该公司每次订购多少箱方便面，费用最小？订购周期是多长？库存为多少时发出订货请求？

解：由题意有：

Ch＝（元/周·箱），CO＝25（元/次），R＝3000（箱/周）

故　　　　　　＝

最小费用：

再订货点为：L＝R·tL＝3000×（1/7）＝427（箱），即当库存降为427箱时，应马上发出订货请求。

在此单础上，公司根据具体情况对存储策略进行了一些修改：

(1)将订货周期改为3天，每次订货量为3000×3×(52／365)＝1282箱；

(2)为防止每周需求超过3000箱的情况，决定每天多存储200箱，这样，第一次订货量为1482箱．以后每3天订货量l282箱；

(3)为保证第二天能及时到货，应提前一天订货。再订货点为427十200＝627箱。这样，公司一年的总费用为：

C＝×1282×6十(365÷3)×25十200×6＝8087．67（元）

经济批量灵敏度分析

EOQ模型中所涉及的物资需要量、存贮费、订货费等存贮参数，一般是根据统计资料并估计计划期的发展趋势而确定的，往往与实际情况有一些误差，依据这些参数计算的经济订购批量自然不够十分精确；

另外，经济订购批量往往不是整数，而实际订货时，常常要求以一定的整数如整桶、整打等单位进行订货。为此，我们需要分析模型的各项参数发生偏差时对经济订购批量Q的影响程度以及经济订购批量的偏差对存贮总费用的影响程度，从而考查EOQ模型的可靠程度和实用价值，即对EOQ模型进行敏感性分析。

1.参数R、Co、Ch对Q*的影响

由经济订购批量公式知，参数需求率R、订购费率Co、存贮费率Ch变动，对经济订购批量Q*的影响仅以平方根关系变动，影响并不显著。如需求量R扩大到原来的δ倍，经济订货批量只扩大为原来的倍。

2.经济订货批量对总成本的影响  

当实际的订购批量偏离经济订购批量时，平均总费用率都是增大。若某部门为了少占用流动资金，希望存贮量比经济订购批量 Q*偏低；或资金方面不存在问题，主要担心由于缺货而造成的损失，宁可希望存贮量比经济订购批量Q*偏高。在这种情况下，所需支付的总费用f(Q) 比最佳订购批量Q*时所需支付的总费用f(Q*) 会增加多少？

模型一中有：　　

　　　　　　　　　　　

 有：      （公式1）

公式1便是Q的实际增加或减少，而引起的总费用增加的数量。

下面给出实际Q的偏差情况引起的总费用增加的情况：

表1

	-0.5	-0.2	-0.1	0.1	0.2	0.3	0.5	1
	25%	2.5%	0.6%	0.45%	1.7%	3.5%	8.3%	25%

 

显然，由于偏离最佳批量所引起的费用增加是相当小的，故最佳批量公式不灵敏。一般的订货量Q 比最佳订购批量Q*略有增减而引起的费用增加不多,因此,可根据具体情况给出比较符合实际情况的订货批量Q。

同时，从表1中的数据还可看出，当Q＜Q*，f的增大较明显表现出来；当Q＞Q*，总费用率f有所增大，但不太显著。即正偏差灵敏度低，负偏差灵敏度较高

需求为离散型的随机存贮模型

随机性存储模型主要是指需求是随机的。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的，因此随机性存贮模型要比确定性存贮模型复杂、多样。这里，我们只介绍需求为随机变量的单周期存贮模型，从而了解和掌握随机存贮问题的一般处理方法。

单周期随机存贮问题（single-period stochastic inventory problem）也称“报童问题”（Newsboy problem），此问题的特点是：将单位时间看作一个周期，在这个周期内，产品市场需求是随机变量，其概率分布为已知，而整个周期内，订购量的决定也是“一次性”的，并规定两次订购不发生联系。

下面讨论需求为离散型的随机存贮模型。

1．“卖报童问题”描述

报童向邮局订购报纸卖报，每天报纸的销售数量是个随机变量，每出售1份报纸赚α元，若当天报纸末售出，余下的退回邮局，每份要赔β元。根据以往经验，每天报纸需求量x的概率为P(x)，问题是，报童每天应向邮局订多少份报纸最好？

这是个典型的需求为离散随机变量的单周期存储问题。

2．最优订购量模型

该报童每天准备报纸数为Q，由于需求是随机变量，因此应该用最大盈利期望值或损失最小期望值来决定最优Q。

现从损失最小的角度考虑：

（1）若订购过多，即 Q＞x （供过于求），报纸因不能售出而承担的损失，其损失期望值为：

（2）若订购过少，即Q＜x（缺货），缺货x－Q百份报纸失去销售机会所造成的损失期望值为：

总损失费用期望值为：

由于报童订购报纸的份数只能取离散值，所以不能用求导数的方法求极值。为此设报童每日出售报纸的份数为Q，其损失期望值应满足以下两个条件：

①　E[F(Q)]≤E[F(Q+1)]

②　E[F(Q)]≤E[F(Q-1)]

从①式推导有：

经化简后得：

从②出发进行推导，有：

经化简后得：　

因此最优订购量Q应满足下列不等式：

　　　　　　　　　　　　　　　（公式1）

公式1中最优订购量Q的经济含义是：选择的最小订货量使得不缺货的概率不低于这一服务水平。

Q*值的具体计算方法：将xi（xi＜xi+1，i=1,2,…）对应的概率pi逐个累加，当累加概率刚刚达到或超过SL时对应的需求量x就是最佳订购量Q*。

例1： 某报亭出售某种日报，其需求量在500一1000份之间，需求的概率分布如表1所示。又已知该报纸每售出100份利润为22元，每积压100份损失为20元，问报亭每天应订购多少份这种报纸，利润最大？

表1

需求数（份）	500	600	700	800	900	1000
概率	0.06	0.1	0.23	0.31	0.22	0.08
累计概率	0.06	0.16	0.39	0.70	0.92	1

解：由题意有：α＝22元，β＝20元

由表1的累计概率可知：　，

故报亭每天订购该种日报的份数为800份。实际订购时，可考虑订购700到800分之间。

注意：有时问题不是很清晰地给出参数α、β值，但α可理解为供不应求时单位产品的所有损失成本（失去销售机会而带来的机会损失、由于缺货带来的额外损失，如违约金等缺货成本等），β可理解为供过于求时单位产品的持有成本（如产品的贬值、周期内的库存成本等）。

例2：某设备上有一关键零件常更换，更换需求量x服从泊松分布。根据以往的经验该零件的平均需求量为5件，此零件的价格为100元/件。若零件用不完，到期末就完全报废，或备件不足，待零件损坏后再去订购就会造成停工损失180元，试确定期初应备多少备件最好?

解：供不应求时单位产品的损失成本为180元，而供过于求时单位产品的持有成本为100元，即：α＝180（元），β＝100（元）

故：

平均需求量为5，即随机变量X服从参数λ=5的泊松分布，其X分布率为：

,分布函数为：

查泊松分布表，当Q＝6时：

而，故期初应准备6件零件最好。

以上对报童问题的分析是从损失期望值最小角度考虑而得出的结果，还可以从报童获利的期望值最大来考虑问题：

（1）当需求x＜Q（供过于求）时，报童只售出x份报纸，共获利αx元。未售出的报纸，滞销损失为：β(Q – x)元。此时赢利的期望值：

（2）当x>Q (即供不应求)时,报童因为只有Q份报纸可供销售，无滞销损失，获利的期望值：

由以上分析，知总的盈利期望值为：

　　　　　　　　　　　（公式2）

尽管考虑问题的角度一是考虑获利最大，另一是考虑损失最小,但所得结果，即最优订购量Q*的数值是相同的。