埃及分数问题 迭代加深搜索（IDDFS）

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题目大意：在古埃及，人们使用单位分数的和（形如1/a的分数, a是自然数）表示一切有理数。 如：2/3=1/2+1/6，但不允许2/3=1/3+1/3，因为加数中有相同的。
对于一个分数a/b，表示方法有很多种，但是哪种最好呢？ 首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。 如：
19/45=1/3 + 1/12 + 1/180
19/45=1/3 + 1/15 + 1/45
19/45=1/3 + 1/18 + 1/30
19/45=1/4 + 1/6 + 1/180
19/45=1/5 + 1/6 + 1/18
最好的是最后一种，因为 1/18 比1/180,1/45,1/30,1/180 都大。 给出 a , b ( 0 < a < b < 1000 ) , 计算出 a/b 的最好的表达方式。

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题目分析：

由题，显然这是一道搜索题= =

分析题目，直接用 DFS 容易导致无限递归，直接用 BFS 不容易搜出结果。由于题目要求求出加数最少，最小分母最大的方式，所以我们可以考虑使用迭代加深搜索 IDDFS。

整体思路：首先，按照加数个数，从少到多慢慢增加；当一个特定的加数个数搜到了结果，我们就只在这一层进行搜索（也就是不再往下搜，即不再增加加数的个数）。对于分母，每次我们从小到大进行循环。当我们在这一层已经无法找到解的时候，及时退出（详见代码）。最后输出答案即可。

下面附上代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MX=1005;

int maxd=1,mind=1;
LL a,b,den[MX*10],ans[MX*10];
//den:denominator,临时保存单位分数的分母
//ans:answer,保存最终答案代表的分数的分母
//因为都是单位分数，分子为 1，所以只需保存分母即可

LL gcd(LL a,LL b){return b==0 ? a : gcd(b,a%b);}

int starT(LL x,LL y){                   //确定分母的下界
    for (int i=2;;i++){                 //即:1/i <= x/y
        if (y<=x*i){
            return i;
        }
    }
}
bool can_update(int d){             //判断是否更新，如果最小分数的分母比原来的大，那么更新
    if (ans[d]==-1) return true;
    if (den[d]>ans[d]) return false;
    if (den[d]return true;

    for (int i=1;i<=d;i++){          //否则从第一个分数开始判断（不同的题目有不同的要求）
        if (ans[i]==-1) return true;
        if (den[i]>ans[i]) return false;
        if (den[i]return true;
    }
    return false;
}
bool iddfs(int d,int min_den,LL x,LL y){//min_den:最小的分母值
    if (d==maxd){
        if (y%x!=0) return false;       //不是单位分数
        den[d]=y/x;                     //否则就是一个合法答案，判断是否更新
        if (can_update(d)){
            for (int i=1;i<=d;i++){
                ans[i]=den[i];
            }
        }
        return true;
    }
    min_den=max(min_den,starT(x,y));
    bool ok=false;
    for (int i=min_den;;i++){
        if (y*(maxd-d+1)<=i*x)
            break;      //如果之后选的分数大小不超过x/y，则当前加数已经不满足，返回
                        //即:(maxd-d+1)*(1/i) <= x/y 时，返回
        den[d]=i;
        LL xx=x*i-y,yy=y*i,g=gcd(xx,yy);
        if (iddfs(d+1,i+1,xx/g,yy/g))
            ok=true;
    }
    return ok;
}

int main(){
    scanf(”%lld%lld”,&a,&b);
    if (b%a==0){                //如果一开始就是单位分数了，那么直接返回
        printf(”%lld ”,b/a);
        return 0;
    }
    mind=starT(a,b);
    while (++maxd){
        memset(ans,-1,sizeof(ans));
        if (iddfs(1,mind,a,b)){
            break;
        }
    }
    for (int i=1;i<=maxd;i++){
        printf(”%lld ”,ans[i]);
    }
    return 0;
}