数论学习笔记整理 同余

概念

若有 (a−b)|p ( a − b ) | p ，那么就说a和b在模p的意义下同余，即 a≡b(modp) a ≡ b ( m o d p ) 。

性质

1. 自反性；对称性；传递性。
2. 同加性： a≡b(modp) a ≡ b ( m o d p ) ，则有 a+c≡b+c(modp) a + c ≡ b + c ( m o d p )
3. 同乘性： a≡b(modp) a ≡ b ( m o d p ) ，则有 a∗b≡b∗c(modp) a ∗ b ≡ b ∗ c ( m o d p )
4. 同幂性： a≡b(modp) a ≡ b ( m o d p ) ，则有 ac≡bc(modp) a c ≡ b c ( m o d p )
5. 不满足同除性： a≡b(modp) a ≡ b ( m o d p ) ，却不满足 ac≡bc(modp) a c ≡ b c ( m o d p ) ，但有 ac≡bc(modpc) a c ≡ b c ( m o d p c )
6. 推论1： a∗b%p=(a%p)∗(b%p)%p a ∗ b % p = ( a % p ) ∗ ( b % p ) % p
7. 推论2：若有 a%p=x,a%q=x,gcd(p,q)=1 a % p = x , a % q = x , g c d ( p , q ) = 1 ，则有 a%(p∗q)=x a % ( p ∗ q ) = x
   证明：令 a=s∗p+x=t∗q+x a = s ∗ p + x = t ∗ q + x ，即 s∗p=t∗q s ∗ p = t ∗ q
   又因为 gcd(p,q)=1 g c d ( p , q ) = 1 ，那么 t|p t | p
   则有 s=tp∗q=k∗q s = t p ∗ q = k ∗ q ，即有 a=k∗p∗q+x a = k ∗ p ∗ q + x
   得证。

相关定理

威尔逊定理

若p为素数，则 (p−1)!≡p−1(modp) ( p − 1 ) ! ≡ p − 1 ( m o d p ) 。逆定理亦成立。
草率的伪证明：若p为素数，那么1到p-1都与p互质，此时这些数所组成的集合A，即为p的缩系。
对于 p=2 p = 2 ， A=1 A = 1 ， 1≡1(mod2) 1 ≡ 1 ( m o d 2 )
对于其他任意质数，p均为奇数，那么p-1为偶数，集合A有偶数个，可以将A中的1与p-1配对，其他数字两两配对使得 Ai∗Aj≡1(modp) A i ∗ A j ≡ 1 ( m o d p ) 。

费马小定理

若p为素数，a为正整数，a与p互质，则有 ap−1≡1(modp) a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) 。

欧拉定理

若a与m互质，则有 aφ(m)≡1(modm) a φ ( m ) ≡ 1 ( m o d m )
欧拉函数φ(m),φ(m)表示不超过m的与m互质的数的个数。

扩展欧几里得算法

用于求解形似 ax+by=gcd(a,b) a x + b y = g c d ( a , b ) 的方程的一组解。

思想

由辗转相除法，可知gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
当b=0时，可以得到 ax=a a x = a ，则此时有解

{x=1y=0 { x = 1 y = 0

将原方程转化即得：

ax+by=gcd(b,b%a) a x + b y = g c d ( b , b % a )

而其对应的同余方程为：

bx′+(a%b)y′=gcd(b,b%a) b x ′ + ( a % b ) y ′ = g c d ( b , b % a )

稍作联立，并将取模运算符展开：

ax+by=bx′+(a%b)y′=bx′+(a−⌊ab⌋b)y′=ay′+b(x′−⌊ab⌋y′) a x + b y = b x ′ + ( a % b ) y ′ = b x ′ + ( a − ⌊ a b ⌋ b ) y ′ = a y ′ + b ( x ′ − ⌊ a b ⌋ y ′ )

到了这里，我们发现这个式子的最左边与最右边相等了，a,b两个参数又没有变，那么可得：

{xy=y′=x′−⌊ab⌋y′ { x = y ′ y = x ′ − ⌊ a b ⌋ y ′

模拟上述过程不断递归，直到b=0,就得到了一组解，再向上递归算出原来的x,y，由此得到通解。

代码

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int t,res=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return res;
}

裴蜀定理

若a,b是整数,且 gcd(a,b)=d g c d ( a , b ) = d ，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使 ax+by=d a x + b y = d 成立。

推广：n个整数，a1,a2,a3……an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1……xn使得 x1∗a1+x2∗a2+...xn∗an=d x 1 ∗ a 1 + x 2 ∗ a 2 + . . . x n ∗ a n = d 。

中国剩余定理

内容

若对于形似 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x≡a1(modp1)x≡a2(modp2)……x≡an(modpn) { x ≡ a 1 ( m o d p 1 ) x ≡ a 2 ( m o d p 2 ) … … x ≡ a n ( m o d p n ) 的方程组，模数p1至pn两两互质，那么对于任意整数ai，方程组有解，且可以构造出通解。

思想

求解满足方程的最小正整数解： ⎧⎩⎨⎪⎪x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7) { x ≡ 2 ( m o d 3 ) x ≡ 3 ( m o d 5 ) x ≡ 2 ( m o d 7 )
先进行转化求下列同余方程组，模数与上式对应相同。
分别求其最小正整数解，如第一个式子可以转化为 5∗7y≡1(mod3) 5 ∗ 7 y ≡ 1 ( m o d 3 ) ，易得 y=2 y = 2 ，那么x=70。

⎡⎣⎢⎢100⎤⎦⎥⎥=70⎡⎣⎢⎢010⎤⎦⎥⎥=21⎡⎣⎢⎢001⎤⎦⎥⎥=15 [ 1 0 0 ] = 70 [ 0 1 0 ] = 21 [ 0 0 1 ] = 15

最后利用构造法，由原式，可以得到

⎡⎣⎢⎢232⎤⎦⎥⎥=2⎡⎣⎢⎢100⎤⎦⎥⎥+3⎡⎣⎢⎢010⎤⎦⎥⎥+2⎡⎣⎢⎢001⎤⎦⎥⎥ [ 2 3 2 ] = 2 [ 1 0 0 ] + 3 [ 0 1 0 ] + 2 [ 0 0 1 ]

那么方程的最小正整数解就应该为 x=(2∗70+3∗21+2∗15)%105=23 x = ( 2 ∗ 70 + 3 ∗ 21 + 2 ∗ 15 ) % 105 = 23
且方程的解集为 {23+105k|k∈Z} { 23 + 105 k | k ∈ Z }
够不够玄学

代码

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int t,res=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return res;
}
int crt()
{
    int x,y,a,m,n;
    a=0;
    n=1;
    for(int i=0;ifor(int i=0;iif(a>0)
      return a;
    return a+n;
}

逆元

对于a和x，如果它们满足 ax≡1(modp) a x ≡ 1 ( m o d p ) ，我们就说x的最小正整数解即为a在模p意义下的逆元，我们令它为 inv(a) i n v ( a ) 。
由费马小定理我们可以知道 inv(a)=ap−2%p i n v ( a ) = a p − 2 % p 即为a在模p意义下的逆元。
当然还有更好的求法，利用扩展欧几里得算法。首先 ax%p=1 a x % p = 1 ，那么就可以得到 ax+(−k)p=1 a x + ( − k ) p = 1 ，又因为p是一个素数，显然可以转化为 ax+(−k)p=gcd(x,p) a x + ( − k ) p = g c d ( x , p ) 。