BZOJ 1367 BOI2004数字序列

Problem

BZOJ

Solution

dalao安利的一道论文题。。

为了方便思考，我们可以把ai减去i，把严格递增的条件转化为非严格递增的条件。

不妨先考虑特殊情况，a如果是递增的，那么直接bi=ai即可。如果是递减的，就取它的中位数，原因后文再讲。

先考虑一个简化的问题，是一个初中数学题，求使得 |A−x|+|B−x|(A≤B) | A − x | + | B − x | ( A ≤ B ) 最小的x值。这个比较简单，画个数轴，然后把绝对值转化为距离，就是 x∈[A,B] x ∈ [ A , B ] 。那么再继续扩展呢，沿用之前的方法，容易发现最中间的值总是最优的，也就是中位数，当然了偶数个的情况下，答案是最中间的区间。

拓展回本题，就是先把这个序列分成多段，现在的问题就是如何合并两段数列的答案。不妨设 x1,x2 x 1 , x 2 分别表示两段数列最优时x的值。如果 x1≤x2 x 1 ≤ x 2 ，这是合法的，那么显然最优是无需操作。而如果 x1>x2 x 1 > x 2 ，那么就合并这两个段中的元素，这又变成了上面谈论过的问题，取中位数为新的x。这个合并操作可以用左偏树来维护。

Code

#include 
#include 
#define rg register
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1000010;
int n,top,b[maxn];
ll ans;
struct data{int l,r,sz,rt,val;}stk[maxn];
struct leftist{
    int dis[maxn],ch[maxn][2],val[maxn];
    int merge(int x,int y)
    {
        if(!x||!y) return x|y;
        if(val[x]1]=merge(y,ch[x][1]);
        if(dis[ch[x][1]]>dis[ch[x][0]]) swap(ch[x][0],ch[x][1]);
        dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;
        return x;
    }
    int erase(int x){return merge(ch[x][0],ch[x][1]);}
}h;
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
inline int abs(int x){return x<0?-x:x;}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    read(n);
    for(rg int i=1;i<=n;i++) read(h.val[i]),h.val[i]-=i;
    stk[top=1]=(data){1,1,1,1,h.val[1]};
    for(rg int i=2;i<=n;i++)
    {
        stk[++top]=(data){i,i,1,i,h.val[i]};
        while(top^1&&stk[top].val1].val)
        {
            top--;
            stk[top].rt=h.merge(stk[top].rt,stk[top+1].rt);
            stk[top].sz+=stk[top+1].sz;stk[top].r=stk[top+1].r;
            while(stk[top].sz>(stk[top].r-stk[top].l+2)/2)
            {
                stk[top].sz--;
                stk[top].rt=h.erase(stk[top].rt);
            }
            stk[top].val=h.val[stk[top].rt];
        }
    }
    for(rg int i=1,p=1;i<=n;i++)
    {
        if(i>stk[p].r) p++;
        ans+=abs(stk[p].val-h.val[i]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    for(rg int i=1,p=1;i<=n;i++)//洛谷上要求输出b数组
    {
        if(i>stk[p].r) p++;
        printf("%d ",stk[p].val+i);
    }
    putchar('\n');
    return 0;
}