4785: [Zjoi2017]树状数组

Description

漆黑的晚上，九条可怜躺在床上辗转反侧。难以入眠的她想起了若干年前她的一次悲惨的OI 比赛经历。那是一道

基础的树状数组题。给出一个长度为 n 的数组 A，初始值都为 0，接下来进行 m 次操作，操作有两种：

1 x，表示将 Ax 变成 (Ax + 1) mod 2。

2 l r，表示询问 sigma(Ai) mod 2,L<=i<=r

尽管那个时候的可怜非常的 simple，但是她还是发现这题可以用树状数组做。当时非常young 的她写了如下的算

法：

1: function Add(x)

2: while x > 0 do

3: A

x ← (Ax + 1) mod 2

4: x ← x ? lowbit(x)

5: end while

6: end function

8: function Find(x)

9: if x == 0 then

10: return 0

11: end if

12: ans ← 0

13: while x ≤ n do

14: ans ← (ans + Ax) mod 2

15: x ← x + lowbit(x)

16: end while

17: return ans

18: end function

19:

20: function Query(l, r)

21: ansl ← Find(l ? 1)

22: ansr ← Find(r)

23: return (ansr ? ansl + 2) mod 2

24: end function

其中 lowbit(x) 表示数字 x 最?的非 0 二进制位，例如 lowbit(5) = 1, lowbit(12) = 4。进行第一类操作的时

候就调用 Add(x)，第二类操作的时候答案就是 Query(l, r)。如果你对树状数组比较熟悉，不难发现可怜把树状

数组写错了： Add和Find 中 x 变化的方向反了。因此这个程序在最终测试时华丽的爆 0 了。然而奇怪的是，在

当时，这个程序通过了出题人给出的大样例——这也是可怜没有进行对拍的原因。现在，可怜想要算一下，这个程

序回答对每一个询问的概率是多少，这样她就可以再次的感受到自己是一个多么非的人了。然而时间已经过去了很

多年，即使是可怜也没有办法完全回忆起当时的大样例。幸运的是，她回忆起了大部分内容，唯一遗忘的是每一次

第一类操作的 x的值，因此她假定这次操作的 x 是在 [li, ri] 范围内等概率随机的。具体来说，可怜给出了

一个长度为 n 的数组 A，初始为 0，接下来进行了 m 次操作：

1 l r，表示在区间 [l, r] 中等概率选取一个 x 并执行 Add(x)。

2 l r，表示询问执行 Query(l, r) 得到的结果是正确的概率是多少。

Source

[ Submit][ Status][ Discuss]

由树状数组的性质，，可以发现

当修改和询问的操作倒过来的时候，每次询问返回的东西其实是个后缀和

也就是调用函数Query(l,r)时，返回的其实是[l-1,r-1]的数值的和

因此，对于每个询问，当曾经某一次修改了位置l-1或者r的时候，才会导致这个询问的结果出现偏差

于是可以枚举每个修改，再枚举后面的询问，判断一下出错的概率，O(m^2)解决这个问题

更进一步，每个修改操作等价于是对符合一定限制的区间有某个概率使其出错

因此就转变为二维数点问题，可以使用CDQ + 树状数组或是二维线段树解决

使用二维线段树的话比较好写，而且可以在线解答

特别地，对于询问[1,k]，由于调用函数的位置是0和k，导致了第一次函数调用变成多余的

此时，对于每个修改操作，当且仅当其修改位置k的时候不影响答案，其它都会干扰答案，特判即可

对于概率，维护奇偶性简单讨论就行了

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
const int N = 4;
const int T = 14;
const int maxn = 1E5 + 10;
typedef long long LL;
const LL mo = 998244353;
 
inline int Mul(const LL &x,const LL &y) {return x * y % mo;}
inline int Add(const int &x,const int &y) {return x + y < mo ? x + y : x + y - mo;}
inline int Dec(const int &x,const int &y) {return x - y >= 0 ? x - y : x - y + mo;}
 
inline int ksm(int x,int y)
{
    int ret = 1;
    for (; y; y >>= 1)
    {
        if (y & 1) ret = Mul(ret,x);
        x = Mul(x,x);
    }
    return ret;
}
 
struct data{
    int e,o; data(){}
    data(int e,int o): e(e),o(o){}
    data operator ^ (const data &B)
    {
        data c;
        c.e = Add(Mul(e,B.e),Mul(o,B.o));
        c.o = Add(Mul(e,B.o),Mul(o,B.e));
        return c;
    }
}d1,d2,Ans,c1[maxn*T*T],c2[maxn*T*T];
 
int n,m,cnt,All,rt[maxn*N],lc[maxn*T*T],rc[maxn*T*T];
bool vis[maxn*N];
 
inline void New(int &o)
{
    o = ++cnt;
    c1[o] = c2[o] = data(1,0);
}
 
inline void Insert(int &o,int l,int r,int pos)
{
    if (!o) New(o);
    c1[o] = c1[o] ^ d1; c2[o] = c2[o] ^ d2;
    if (l == r) return; int mid = l + r >> 1;
    if (pos <= mid) Insert(lc[o],l,mid,pos);
    else Insert(rc[o],mid+1,r,pos);
}
 
inline void Modify(int o,int l,int r,int ql,int qr)
{
    vis[o] = 1; Insert(rt[o],1,n,qr);
    if (l == r) return; int mid = l + r >> 1;
    if (ql <= mid) Modify(o<<1,l,mid,ql,qr);
    else Modify(o<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
}
 
inline void query(int o,int l,int r,int ql,int qr,int typ)
{
    if (!o) return;
    if (ql <= l && r <= qr)
    {
        Ans = Ans ^ (typ == 1 ? c1[o] : c2[o]);
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (ql <= mid) query(lc[o],l,mid,ql,qr,typ);
    if (qr > mid) query(rc[o],mid+1,r,ql,qr,typ);
}
 
inline void Query(int o,int l,int r,int l1,int r1,int l2,int r2,int typ)
{
    if (!vis[o]) return;
    if (l1 <= l && r <= r1)
    {
        query(rt[o],1,n,l2,r2,typ); return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (l1 <= mid) Query(o<<1,l,mid,l1,r1,l2,r2,typ);
    if (r1 > mid) Query(o<<1|1,mid+1,r,l1,r1,l2,r2,typ);
}
 
int getint()
{
    char ch = getchar(); int ret = 0;
    while (ch < '0' || '9' < ch) ch = getchar();
    while ('0' <= ch && ch <= '9')
        ret = ret * 10 + ch - '0',ch = getchar();
    return ret;
}
 
int main()
{
    #ifdef DMC
        freopen("DMC.txt","r",stdin);
        freopen("test.txt","w",stdout);
    #endif
     
    n = getint(); m = getint();
    while (m--)
    {
        int typ = getint(),l,r;
        l = getint(); r = getint();
        if (typ == 1)
        {
            int Inv = ksm(r - l + 1,mo - 2); ++All;
            d1 = data(Dec(1,Inv),Inv); Inv = Mul(2,Inv);
            d2 = data(Dec(1,Inv),Inv); Modify(1,1,n,l,r);
        }
        else
        {
            --l; Ans = data(1,0);
            if (!l)
            {
                Query(1,1,n,1,r,r,n,1);
                if (All & 1) Ans.e = Ans.o;
            }
            else
            {
                Query(1,1,n,1,l,r,n,2);
                Query(1,1,n,1,l,l,r - 1,1);
                Query(1,1,n,l + 1,r,r,n,1);
            }
            printf("%d\n",Ans.e);
        }
    }
    return 0;
}

4785: [Zjoi2017]树状数组