【DP】加法最大 和 乘积最大

题目

设有一个长度为n的数字字符串，分成k+1个部份，使其k+1部份相加的和为最大。例如：数字串’340670’，k=1，其加法有
3+40670=40673 34+0670=704 340+670=1010 3406+70=3476 34076+0=34076
其最大和为40676。
问题：当数字串和k给出后，找出一个分法使和为最大。

输入

输入n和k，n表示有多少个数字字符，k代表共要用多少个加号

输出

最大和

输出样例

6 1
340670

输出样例

40673

解题思路

$$f[i][0]=f[i-1][0]\ast 10+a[i];$$
其实这个公式是为了求所谓的后缀和，就是把第i个前的数来加起来，但是要乘以10，因为有可能是有两个数以上的，那就有十位个位之分，所以要乘10.
$$f[i][k]=max(f[i][k],f[j-1][k-1]+b[j][i]);$$
这个就是求最大的和了.

程序如下

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,a[101],f[101][101],b[101][101];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	getchar();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=getchar()-48;//把数字字符改成数字
		f[i][0]=f[i-1][0]*10+a[i];//求后缀和
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	b[i][i]=a[i];//把值赋给b
    	for(int j=i+1;j<=n;j++)
    	  b[i][j]=b[i][j-1]*10+a[j];//求没有加号的
    }
    for(int k=1;k<=m;k++)
    {
    	for(int i=k+1;i<=n-m+k;i++)
    	{
    		for(int j=k+1;j<=i;j++)
    		{
    			f[i][k]=max(f[i][k],f[j-1][k-1]+b[j][i]);//求最大和
    		}
    	}
    }
    printf("%d",f[n][m]);
	return 0;
}

乘积最大

题目

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1) 312=36
　　2) 312=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入

程序的输入共有两行：
　　第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
　　第二行是一个长度为N的数字串。

输出

相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

输入样例

4 2
　　1231

输出样例

62

解题思路

其实就是把$$f[i][k]=max(f[i][k],f[j-1][k-1]+b[j][i]);$$的加号改成乘号

程序如下

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,a[101],f[101][101],b[101][101];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	getchar();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=getchar()-48;
		f[i][0]=f[i-1][0]*10+a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	b[i][i]=a[i];
    	for(int j=i+1;j<=n;j++)
    	  b[i][j]=b[i][j-1]*10+a[j];
    }
    for(int k=1;k<=m;k++)
    {
    	for(int i=k+1;i<=n-m+k;i++)
    	{
    		for(int j=k+1;j<=i;j++)
    		{
    			f[i][k]=max(f[i][k],f[j-1][k-1]*b[j][i]);
    		}
    	}
    }
    printf("%d",f[n][m]);
	return 0;
}