Difference

题目链接

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题意

定义 $f(y,k)$ 为 $y$ 各个数位上数字的 $k$ 次方和，问有多少个不同的 $y$ 满足 $x=f(y,k)-y$

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分析

每个数位上的数字最大为9，假设 $y$ 由 $a$ 位9构成，那么 $x=a\ast 9^k-(10^a-1)$ ，$k$ 最大为9，$x$ 最大为 $10^9$，根据上式，$y$ 最多10位

令 $y=a\ast 10^5+b$，那么有 $x=f(a,k)+f(b,k)-a\ast 10^5-b$，可得 $x-f(a,k)+a\ast 10^5=f(b,k)-b$

预处理$f(b,k)-b$，枚举 $a$，二分查找满足条件的 $b$ 的数量

$a,b$最多各5位，时间复杂度为$O(5e5\cdot lo{g}_{2}10)$

题目要求 $y$ 为正整数，特判0

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代码

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using namespace std;

#define bll long long

const int maxn = 1e5+100;
const int num = 1e5;
bll f[10][maxn],pre[10][maxn];
int fac[10][10];

void init()
{
    for (int i=1;i<10;i++)
    {
        fac[i][0] = 1;
        for (int j=1;j<10;j++) fac[i][j] = fac[i][j-1]*i;
    }

    for (int i=0;i<1e5;i++)
    {
        for (int k=1;k<10;k++)
        {
            int x = i;
            while (x)
            {
                f[k][i] += fac[x%10][k];
                x = x/10;
            }
            pre[k][i] = f[k][i]-i;
        } 
    }
    
    for (int i=1;i<10;i++) sort(pre[i],pre[i]+num);
    return;
}

long long solve(bll *p,bll *F,int x)
{
    long long ans = 0;
    for (int i=0;i<1e5;i++)
    {
        long long tmp = (bll)i*1e5-F[i]+x;
        ans += upper_bound(p,p+num,tmp)-lower_bound(p,p+num,tmp); 
    }
    return ans-(x==0);
}

int main()
{
    init();

    int T,k,x;
    scanf("%d",&T);
    for (int Case = 1; Case <= T; Case++)
    {
        scanf("%d %d",&x,&k);
        printf("Case #%d: %lld\n",Case,solve(pre[k],f[k],x));
    }
    return 0;
}