快速幂取模：求 a^b % N（C++）

在某些情况下，我们需要求模 N 情况下某个数的多次幂，例如：

1. 求多次幂结果的最后几位数

2. RSA算法的加解密

如果底数或者指数很大，直接求幂再取模很容易会出现数据溢出的情况，产生错误的结果，同时如果简单的重复乘以某个数求其多次幂，速度很慢，这时候就需要用到快速幂取模了，一般也简称快速幂。

快速幂取模基于下面这条引理：

积的取余等于取余的积的取余

即 (a * b) % N 等价于 ( (a % N) * (b % N) ) % N

例如：(13 * 5) % 3 = ( (13 % 3) * (5 % 3) ) % 3

通过计算可以知道上述等式是成立的，而且也不难理解上述引理的正确性，这里就不过多赘述。

求 a^b % N，我们知道，如果 a 或者 b 较大的话，先求幂再取模就有可能导致数据溢出，所以如何解决这一问题就显而易见了，根据引理，我们可以边求幂边取模，避免直接求幂导致的数据溢出。

long mod(long a, long b, long N)
{
	long result = 1;
	// 在求幂之前，我们可以先把 a 限制在模 N 范围内
	a = a % N;
	while (b > 0)
	{
		result = result * a;
		// 根据引理，每个中间结果均可先取模，减小数据溢出的可能性
		result = result % N;
		b--;
	}
	return result;
}

上面减小了数据溢出的可能性，但是仍然是简单的通过重复乘法求幂，速度比较慢，那我们要如何加快求幂的速度，实现快速幂呢？

首先，我们先来看 b 为偶数的情况，例如 2^8 % 5，我们知道，a^(m * n) = (a^m)^n，所以我们可以推出：

2^8 = 2^(2 * 4) = (2^2)^4 = 4^4

b 为偶数的情况下，我们可以通过上述方法将其减小为原来的二分之一，即可将乘法的数量减少为原来的一半，聪明的读者应该想到了，我们可以反复地使用这种方法，不断地减小 b，减少乘法的数量，实现快速求幂。

细心的读者会问了，那要是 b 是奇数怎么办呢？其实不难解决，b 为奇数时可以看作 (b - 1) + 1，此时 b - 1 为偶数，所以我们只需要把多出来的一次单独计算并带入结果即可，也许单纯看文字没办法理解，下面我们来看具体的实现。

long mod(long a, long b, long N)
{
	long result = 1;
	// 在求幂之前，我们可以先把 a 限制在模 N 范围内，即把 a 变小
	a = a % N;
	while (b > 0)
	{
		// 如果 b 是奇数，将多出来的一次单独计算并带入结果
		if (b % 2 == 1) 
		{
			result = result * a;
			result = result % N;
			b--;
		}
		// b 减小为原来的二分之一
		b /= 2;
		a = (a * a) % N;
	}
	return result;
}

以上便是对快速幂取模算法的简单描述和实现，它是一个非常有用的小算法，也比较容易掌握，可能在ACM题目或者密码学算法中会用到，希望读者看完这篇文章能够理解并掌握快速幂。

水平有限，如有错误，还请批评指正。