算法：KMP 算法实现及详解

1、求下标 K 所对应的 next 数组对应值的具体方法：

1. 观察下标 K-1 对应 字符串 的值，令 X 为下标 K -1 对应的 next 数组的值（X = next [ K-1 ]）
2. 若 X 为 -1，则下标 K 对应的 next 数组值为 0，否则进入步骤3
3. 观察下标为 X 的 字符串 的值是否与下标 K-1 对应 字符串 的值相等，若相等则下标 K 对应的 next 数组值为 X+1，否则进入步骤4
4. 令X = next[X] ，返回步骤3

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对字符串 “abaababaa” 共 9 个字符求 next 数组，下表为结果：

字符数组	a	b	a	a	b	a	b	a	a
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8
next数组	-1	0	0	1	1	2	3	2	3

分解求解步骤

1、初始化，令next[0] = -1；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |

2、求解下标为1对应的next数组，观察 next[0] 的值 X = -1，则 next[1] = 0；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |

3、求解下标为2对应的next数组，观察 next[1] 的值 X = 0，观察下标 1 对应的字符 b ，

下标为 X(0) 对应的字符为 a ，两者不一致，则令 X=next [0]（X=0）即 X = -1，即 next[2] = 0；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |  0  | 

4、求解下标为3对应的next数组，观察 next[2] 的值 X = 0，观察下标 2 对应的字符 a ，

下标为 X(0) 对应的字符为 a ，两者一致，则 next [3] = next[2] + 1，即 next[3] = 1；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |  0  |  1  | 

5、求解下标为4对应的next数组，观察 next[3] 的值 X = 1，观察下标 3 对应的字符 a ，

下标为 X(1) 对应的字符为 b ，两者不一致，则令 X=next [X] （X=1）即 X = 0，

下标为 X(0) 对应的字符为 a，两者一致，则 next [4] = next[1] + 1，即 next[4] = 1；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |  0  |  1  |  1  |  

6、求解下标为5对应的next数组，观察 next[4] 的值 X = 1，观察下标 4 对应的字符 b ，

下标为 X(1) 对应的字符为 b ，两者一致，则 next [5] = next[4] + 1，即 next[5] = 2；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |  0  |  1  |  1  |  2  |  

7、求解下标为6对应的next数组，观察 next[5] 的值 X = 2，观察下标 5 对应的字符 a ，

下标为 X(2) 对应的字符为 a ，两者一致，则 next [6] = next[5] + 1，即 next[6] = 3；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |  0  |  1  |  1  |  2  |  3  | 

8、求解下标为7对应的next数组，观察 next[6] 的值 X = 3，观察下标 6 对应的字符 b ，

下标为 X 对应的字符为 a ，两者不一致，则令 X=next [X] （X=3）即 X = 1，

下标为 X(1) 对应的字符为 b，两者一致，则 next [7] = next[3] + 1，即 next[7] = 2；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |  0  |  1  |  1  |  2  |  3  |  2  | 

9、求解下标为8对应的next数组，观察 next[7] 的值 X = 2，观察下标 7 对应的字符 a ，

下标为 X 对应的字符为 a ，两者一致，则 next [8] = next[7] + 1，即 next[8] = 3；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |  0  |  1  |  1  |  2  |  3  |  2  |  3  |

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2、观察法求出 next 数组：

• 求下标 K 的 next 数组的值，即从字符串首往后到下标 K - 1 观察得出前缀，从下标 K -1 往前到串首观察得出后缀
• 观察前缀和后缀一致时的长度最大值，该值即为下标 K对应的next 数组的值

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前缀：整个字符串"abaababaa"的前缀为 a | ab | aba | abaa | abaab | abaaba | abaabab | abaababa

后缀：整个字符串"abaababaa"的前缀为 a | aa | baa | abaa | babaa | ababaa | aababaa | baababaa

例子1：求解下标为 4 的 next 数组的值，即观察 abaa 的前缀 [ a , ab , aba ]，后缀 [ a , aa , baa ]，

前缀后缀一致的只有 a ，长度为 1，则 next [ 4 ] = 1；

例子2：求解下标为 6 的 next 数组的值，即观察 abaaba 的前缀 [ a，ab，aba，abaa，abaab ]，

后缀 [ a，ba，aba，aaba，baaba]，前后缀一致的有 a，aba，长度分别为 1 和 3，则取最大值 next [ 6 ] = 3；

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |  0  |  1  |  1  |  2  |  3  |  2  |  3  |

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3、求解next数组，C++代码实现：

vector GetNext(string s)
{
    vector next(s.size(), 0); // 初始化一个 s 长度的 next 数组
    next[0] = -1;                  // 初始化下标 0 next 数组的值
    int k = 0;                     // 存储字符串从开始到目前下标前一位的前后缀的对称程度
    for (int i = 2; i < s.size(); ++i)       
    {
        while (k > 0 && s[i - 1] != s[k])
            k = next[k];
        if (s[i - 1] == s[k])
            k++;
        next[i] = k;
    }
    return next;                          
}

发生不匹配时的操作步骤详解：

当匹配字符串为“abaababaa”时，有下表：

字符         |  a  |  b  |  a  |  a  |  b  |  a  |  b  |  a  |  a  |

下标         |  0  |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |

next         |  -1 |  0  |  0  |  1  |  1  |  2  |  3  |  2  |  3  |

例子3：当下标 3 不匹配时，返回到对称的前缀的下一位查看，如 abaa 中，有前缀和后缀 a 相同，当发生不匹配时，可直接从 abaa 返回到 abaa ，然后继续进行匹配；

例子4：当下标 6 不匹配时，观察 abaabab ，有前缀和后缀 aba 相同，当发生不匹配时，可直接从 abaabab 返回到 abaabab ，下标返回到 3 ，然后继续进行匹配；

例子5：当下标 8 不匹配时，观察 abaababaa ，有前缀和后缀 aba 相同，当发生不匹配时，可直接从 abaababaa 返回到 abaababaa，下标返回到 3 ，然后继续进行匹配；

通过例子3-5可知：前后缀相同时，它们的长度代表已匹配成功的字符串长度，因此只需回到前缀的下一位继续进行匹配即可，因为通过后缀匹配成功可证明前缀必匹配；

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4、KMP算法，C++代码实现：

int KMP(string S, string str_match)
{
    vector next = getNext(str_match);
    int i = 0;    // 被匹配字符串的下标
    int j = 0;    // 匹配字符串的下标
    while (S[i] != '\0' && str_match[j] != '\0')
    {
        if (j == -1||S[i] == str_match[j])
        {
            ++i;
            ++j;
        }
        else
        {
            j = next[j];
        }
    }
    if (str_match[j] == '\0')
        return i - j;
    else
        return -1;
}

KMP详解：

逻辑1：当 S[ i ] 与 str_match [ 0 ] 不匹配时（j = 0），将 i 往后移动一位，j 设置为 0；

逻辑2：当 S[ i ] 与 str_match [ j ] 匹配时（j >= 0），将 i ，j 同时往后移动一位；

逻辑3：当 S[ i ] 与 str_match [ j ] 不匹配时（j >= 0），将找到与后缀相同的前缀的下一位，即 j = next [ j ]；

思考（如何将逻辑1和逻辑3统一）：

• 当 j = 0时，若S[ i ] 与 str_match [ j ] 不匹配，由逻辑1和3知， 需要将 i 往后移动一位且保持 j = 0，且令j = next [ 0 ] 且；
• 即 （i++，j 为0）和（j = next [ 0 ] ）；
• 观察逻辑2的操作可知，逻辑2也需要将 i 往后移动一位，但同时将 j 往后移动一位；
• 即（ i++，j++）；
• 若先进行（j = next [ 0 ] ）的操作，并在下一步进行 i++ 操作且保证 j = 0 ，思考是否可行；
• 若令 next [ 0 ] = -1，通过 j = next [ 0 ] 得到 j = -1，之后进行 i++ 操作，j此时需要保证 j = 0，则可进行 j++ 操作，产生逻辑4（这也是为何要将next [ 0 ] 初始化为 -1 的原因）；

逻辑4：当 j 为 -1 时，将 i ，j 同时往后移动一位；

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字符串匹配的其他算法：

BM算法、Horspool算法、Sunday算法、RK算法