[BZOJ2820]YY的GCD（莫比乌斯反演）

题目描述

传送门

题解

这题和上一题差不多的…
令 p(i) 表示第i个质数，假设 n<m

∑i=1n∑j=1m∑d=1k[(i,j)=p(d)]

=∑d=1k∑i=1np(d)∑j=1mp(d)[(i,j)=1]

利用反演公式 [n=1]=∑d|nμ(d)

=∑d=1k∑i=1np(d)∑j=1mp(d)∑t|(i,j)μ(t)

=∑d=1k∑t=1np(d)∑i=1np(d)[t|i]∑j=1mp(d)[t|j]μ(t)

=∑d=1k∑t=1np(d)⌊np(d)t⌋⌊mp(d)t⌋μ(t)

令 T=p(d)t ，那么现在 p(d) 变成了 T 的约数

=∑T=1n⌊nT⌋⌊mT⌋∑p(d)|Tμ(Tp(d))

令 f(n)=∑p(d)|nμ(np(d)) ，我们如果想要 O(n−−√) 求解的话就必须做到 O(1) 求 f
直接求 f 只能是 O(n−−√) 的
如何预处理 f ？
考虑线性筛，但是求 f(n) 的过程中枚举的是n的每一个质因子，并不是n的约数，所以 f 并不一定是一个积性函数
但是我们仍然可以用类似线性筛的方法求出 f ，关键是要利用莫比乌斯函数的性质
观察 f 的表达式，由 μ 的性质可以知道， f(n) 不为0，当且仅当将n至多含有一个指数大于1的质因子
咦这和 μ 的定义很像啊…
显然当n为质数时 f(n)=1
考虑用 f(a) 和质数p推出 f(a∗p)
1° 当 μ(a)=0 时， f(a∗p)=0
2° 当 (a,p)=1 时，相当于是在 f(a) 的每一项上都乘上了一个 μ(p) ，然后再加入了一个 μ(a) ，即 f(a∗p)=−f(a)+μ(a)
3° 当 (a,p)≠1 时， f(a) 中所有含有 μ(...p) 的项都变为0，只有不含p的一项不变，也就是说 f(a∗p)=μ(a)

这样求出 f 之后原式变成

=∑T=1n⌊nT⌋⌊mT⌋f(T)

分块之后 O(n+T(n−−√+m−−√)) 求解

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 10000005
#define LL long long
#define Mod 1000000007

int T,n,m;
int p[N],prime[N],mu[N],f[N];
LL ans;

void get(int n)
{
    mu[1]=1;f[1]=0;
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!p[i])
        {
            prime[++prime[0]]=i;
            f[i]=1;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            p[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                if (mu[i]) f[i*prime[j]]=mu[i];
                else f[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                f[i*prime[j]]=-f[i]+mu[i];
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;++i) f[i]+=f[i-1];
}
int main()
{
    get(10000000);
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if (n>m) swap(n,m);
        ans=0;
        for (int i=1,j=0;i<=n;i=j+1)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(LL)(n/i)*(m/i)*(f[j]-f[i-1]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}