(转载)二次剩余(知识总结+板子整理)
思路来源
https://blog.csdn.net/kele52he/article/details/78897187（二次剩余）
https://blog.csdn.net/stevensonson/article/details/85845334（二次剩余）
https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/52591343?locationNum=3&fps=1（Cipolla定理、二次剩余、三次剩余）
https://www.cnblogs.com/nbwzyzngyl/p/8469035.html（扩域、二次域）
https://blog.csdn.net/qq_24451605/article/details/45093911?locationNum=1（欧拉判别准则）
知识点整理
二次剩余，现在的研究范围，只在p为奇素数下进行
若存在
使得
，则称n是模p的二次剩余
二次剩余的充要条件，勒让德记号余数为1
充分性：
d,x属于[1,p-1]，显然与p互质；
欧拉判别准则，这里其实就是费马小定理
必要性：
用原根可以证明d，可以表示为
的形式，从而得证
二次非剩余的充要条件，勒让德记号余数为-1
不是二次剩余，则若ij=n(mod p)，i和j一定不相同，
根据扩展欧几里得，
把ij%p=n，转化成 ij+pq=n，
由于gcd(i,p)=1，所以 ij+pq=1肯定有解，
因为n是1的倍数，所以ij+pq=n肯定有解
所以，j=j0+k*p，且j0≠0，故必有且只有一个解j落在[1,p-1]内
n整除p时，勒让德记号余数为0
由勒让德记号定义，显然成立
二次剩余的解n，恰有
个
由于u和v的取值[1,p-1]，所以u-v（不妨u>v）的差必在[1,p-2]之间，与素数p互质，
且u+v取值[2,2p-2]，故u+v==p，说明每对和为p的值有唯一的平方值
不同对(u,v)(w,x)之间若平方相同，设v和w(w≠u)相同，
则必有u+v==p，v+w==p，w+x==p，这推得u==w，与w≠u矛盾，故平方值不同
故有个解，每个二次剩余恰有两个解，且这两个解和为p
Cipolla定理（求n给定时的一组二次剩余）
由于满足
的解有个，选中的概率是
，所以期望为2步
由于p是质数，所以在
的展开式中，p和分母任意项互质，从而p不可被约掉，使为p的倍数
x是解，那么p-x显然是解，代入
即得
所以，求了一个，即相当于求了另一个
扩域（类似复数域）
实际求
时，由于
为非二次剩余，mod p意义下勒让德符号为-1
故可将与复数域联系，视为复数域中的i，进行复数域(a+i)的快速幂的运算，
实部单算，虚部单算，称其为扩域，只是这里
，而非-1
由拉格朗日定理知，最终的虚部为0（不懂）
板子
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll p,w;
struct field{//扩域 x实部 y虚部
ll x,y;
field(ll a=0,ll b=0){
x=a;y=b;
}
};
field operator*(field a,field b){return field(1ll*a.x*b.x%p+1ll*a.y*b.y%p*1ll*w%p,1ll*a.x*b.y%p+1ll*a.y*b.x%p);}
ll ran(){//随机数种子
static ll seed=23333;
return seed=((((((ll)seed^20030927)%p+330802)%p*9410)%p-19750115+p)%p^730903)%p;
}
ll pows(ll a,ll b){
ll base=1;
while(b){
if(b&1) base=1ll*base*a%p;
a=1ll*a*a%p;b/=2;
}
return base;
}
field powfield(field a,ll b){//扩域快速幂
field base=field(1,0);
while(b){
if(b&1) base=base*a;
a=a*a;b/=2;
}
return base;
}
ll legander(ll x){//勒让德记号
//返回-1时x不为二次剩余
//返回1时x为二次剩余
//返回0时p整除x
ll a=pows(x,(p-1)/2);
if(a+1==p) return -1;
return a;
}
ll surplus(ll x){//求b.x*b.x==x(mod p)时的b.x
//即给定x，求x为二次剩余时的解b.x
//x为非二次剩余时返回-1 while(1)期望次数两次
ll a;
if(!x)return 0;
if(legander(x)==-1) return -1;
while(1){
a=ran()%p;
w=((1ll*a*a-x)%p+p)%p;
if(legander(w)==-1) break;
}
field b=field(a,1);
b=powfield(b,(p+1)/2);
return b.x;
}
int main()
{
return 0;
}