lct学习小记

一般我们做树上的某些奇奇怪怪的值都是用树链剖分加线段树，这已经可以维护许多东西了。
可是这个算法有一个缺陷，就是如果树的形态会发生改变的话，就不用玩了。
动态树呢是一类牛逼的问题。
而lin-cut-tree就是我们处理这类问题的利器。

lct的基础是splay，所以如果对splay一脸懵逼的先去学splay，至少会区间翻转。
戳这！

在这里我换一个顺序解释，希望读者能够更快地懂。

先看lct的核心操作：access

void access(int x) {
    int y = 0;
    while(x) {
        splay(x, 0); fa[t[x][1]] = 0; pf[t[x][1]] = x;
        t[x][1] = y; fa[y] = x; pf[y] = 0;
        update(x); y = x; x = pf[x];
    }    
}

access的作用是把x到根这条路径设为偏爱路径，偏爱路径上的点叫偏爱点，一条偏爱路径上的偏爱点都在一颗splay里，splay的关键字是深度。

偏爱点有一个非常重要的约束，就是它的子节点中只能有一个是偏爱点，也就是说，不同的两条偏爱路径是不会有公共点的。

一棵树会被偏爱路径分解，偏爱路径一定是自上而下的一条路径。
当然有些点不是偏爱点，不在偏爱路径上。

fa[x]表示x在splay中的父亲，pf[x]表示x在原树中，第一个不是偏爱路径连向的点。

access操作中，x到根这一路径上也许有的点本身就是偏爱点，我们需要把那些点所在的偏爱路径与x到根这一路径断掉。
x沿pf往上跳，因为有些点本身就在一颗splay里，我们没有必要修改。
splay(x，0)后，x为当前splay的根，它的右子树是深度比它大的点，自然要断掉，而右子树的pf就是x。

这样一次access的时间复杂度就是pf了多少次。
tajan说这个是log的，tajan又说splay的复杂度是log的，都是均摊log的，所以log^2。

splay的话需要加一句话：

void rotate(int x) {
    int y = fa[x], k = lr(x);
    t[y][k] = t[x][!k]; if(t[x][!k]) fa[t[x][!k]] = y;
    fa[x] = fa[y]; if(fa[y]) t[fa[y]][lr(y)] = x;    
    t[x][!k] = y; fa[y] = x; pf[x] = pf[y];//注意这里
    update(y); update(x);
}
void splay(int x, int y) {
    xc(x);
    while(fa[x] != y) {
        if(fa[fa[x]] != y)
            if(lr(x) == lr(fa[x])) rotate(fa[x]); else rotate(x);
        rotate(x);
    }
}

那splay有什么用呢？

换根：

void makeroot(int x) {
    access(x); splay(x, 0); change(x);
}

change的意思是把x所在splay翻转。
因为要翻转，所以要splay。

连边：

void link(int x, int y) {
    makeroot(x); pf[x] = y;
}

删边：

void cut(int x, int y) {
    makeroot(x);
    access(y); splay(y, 0);
    t[y][0] = fa[x] = pf[x] = 0;
    update(y);
}

好累，要查询x->y的什么什么的话。
makeroot(x)，access(y),splay(x,0)
这样x所在的splay就是x->y路径上的所有点了。

于是lct讲完了，重在理解（呵呵~~）。